19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量． （Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．
组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 分组 [50，80） [80，110） [110，140） [140，170） [170，200） [200，230） [230，260） [260，290） 天数 3 4 4 6 5 4 3 1 ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监
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测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，则 74×2+114×5+2x＝118×9， 解得x＝172；
（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI在[170，180）内，则AQI小于180的天数为18天， 则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝
＝；
②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3； 计算P（X＝0）＝
＝
，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X P 数学期望为E（X）＝0×
2
0 +1×
2
1 2 +2×
3 +3×
＝
．
＝
，动
20．（12分）设M点为圆C：x+y＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2点P的轨迹为E． （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝|
|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0）， 则N（x0，0）， ∴∵
，
，
，
- 22 - ∴x0＝x，代入圆的方程得，
，
，
即，
故动点P的轨迹为E的方程为：
；
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知，D（﹣2，0）， ∵
∴DA⊥DB，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
，
由消去y得：
（3+4k）x+8kmx+4m﹣12＝0， ∴
，
，…①
222
∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m） ＝
由DA⊥DB得：
，
即﹣y1y2＝x1x2+2（x1+x2）+4，…③ 由②③得：
把①代入④并整理得：7m﹣16km+4k＝0， 得：（7m﹣2k）（m﹣2k）＝0， 即m＝
或m＝2k，
2
2
，…②
＝0，…④
- 23 - 故直线l的方程为y＝k（x+），或y＝k（x+2）， 当直线l的方程为y＝k（x+）时，l过定点（﹣
）；
当直线l的方程为y＝k（x+2）时，l过定点（﹣2，0），这与A，B不是左顶点矛盾． 故直线l的方程为y＝k（x+），过定点（﹣21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣8x+alnx（a∈R）．
（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有t的取值范围．
【解答】解：（I）f′（x）＝2x﹣8+，（x＞0），∵当x＝1时，f（x）取得极值， ∴f′（1）＝2﹣8+a＝0，解得a＝6，
此时，f（x）＝x﹣8+6lnx，f′（x）＝2x﹣8+＝
2
2
）．
＞t（4+3x1﹣x）成立，求
，
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3， 故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增， 故x＝1是极大值点；
（II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时， 则u（x）＝2x﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等正根．
2
∴，∴0＜a＜8．
∴x1+x2＝4，x1x2＝，0＜x1＜x2，
∴x2＝4﹣x1，a＝2x1x2＝2x1（4﹣x1），可得0＜x1＜2． ∴
＞t（4+3x1﹣x）成立，即
＞t（4﹣x1）（x1+1），
即
＞t（x1+1），即﹣t（x1+1）＞0，
即
[2lnx1+]＞0，且0＜x1＜1时，
＞0．
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