5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为
证：因为
其中：
7．证明。
证：设 ，则
11．用拉格朗日途径导出如下
的
次埃尔米特插值
，满足：
。
解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：
满足上述条件的的多项式可以写成：
其中A为待定系数，再由条件得：
即：
再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：
，
令：
它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由
所以，于是：
于是所求的埃尔米特插值多项式为
三 样条插值和曲线拟合
12．若函数
，它在
是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上是一个二次多项式，并且
上
连续，这样的
上的是
称为二次样条插值。试
的
已知值，又在内节点
证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求方程。
解：由于在每个小区间是在
上共有
上，
有3个待定系数，于
个待定系数，。要满足的条件是：
通过型值点：有
个方程；
，共
的一阶导数连续，即
共有
个方程。
这样总共有个方程，而待定系数有个，于是
在
可以有很多。若
上是一个二
要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑
次多项式，可以写成：，若记为
未知量，则：，再由得，故
，再由得：
再由得
为已知，从而由
，且由递推关系知
是唯一确定的。
，可求
16．证明：贝齐尔曲线证：因
。
19．证明：。
证：因为：，两边求导得：
故：
四 最佳逼近
。