【解】（1）过程“1”：正如上面分析的，这是一个准静态绝热过程，设开始时以及隔板即将离开试管时气体的温度和体积分别是（T,V）和（Tf，Vf）则应该有如下关系：
TV??1?TfVf??1
其中国Vf=2V，γ=5/3(单原子理想气体)，则有 Tf?T223
气体内容减少了 ?U??Cv,m?T???3R?(Y?Yf) 2隔板、试管和气体的总的定向运动动能为
mv2u12(?Mm?M) Ek? ?22其中v为隔板离开试管时，隔板向上运动的速度，u1是试管向下运动时的速度。气体内能的减少转变为定向运动动能，所以 ?U?Ek
另外，根据整个系统的总动量守恒，有 mv?(?Mm?M)u1 由上述各式可以解得
?2?33(2?1)?mRT? u1????2(?Mm?M)(m??Mm?M)?????（2）过程“2”：隔板离开试管以后，我们把正在向下运动的试管作为参考系。正如上面分析的，平均来说，可以认为有一半的分子向试管底撞击，这些分子的数量为 ?N?分子撞击速率应该是平均速率，现在已方均根速率代替它，有 v??NA2
3RTfm分子
其中m分子为分子的质量，Tf为隔板离开试管以后气体的温度。
一个分子对试管底撞击产生2m分子v的冲量，一半分子的撞击给以试管底的总冲量为 ?I??N?2m分子v??NA2?2m分子?3RTfm分子??3MmRTf
这个冲量使得试管产生动量的改变，从而得到附加速度 u2??I M其中M为试管的质量。考虑到Mm?NAm分子，并且利用（1）式，将（7）（8）式代入（9） 得
u2??2M133MmRT
由此得到试管的最终运动速度为：
??3(2?1)?mRT???u?u1?u2???3MmRT 21??(?Mm?M)(m??Mm?M)3223M????
3.8.2 标准状态下氦气的粘度为?1，氩气的粘度为?2，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面?1和氩原子与氩原子的碰撞截面?2之比等于多少？（2）氦的导热系数?1与氩的导热系数?2之比等于多少？（3）氦的扩散系数D1与氩的扩散系数D2之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度?1?1.87?10N?s?m和氩气的粘度?2?2.11?10N?s?m。用这些数据近似的估算碰撞截面?1,?2。 【解】（1）因为???3?2?3?22312nmv?18kT则有 ,??,v?3?m2?nmv2?32?3?km?T?12 ??Tm1212???TM1212?
在温度相同情况下，原子和氦原子碰撞的碰撞截面?1和氩原子与氩原子的碰撞截面?2之比
为
?1??1?2?2M1M2??2M1 ??1M2CV,mnmv?CV,mnmv?（2）因为?? 所以 ???? ?,??Mm3Mm3 则有
?1?1M2?? ?2?2M1（3）应为D?D1v?nmv?,??,??mn所以?
??33 而??MD?M所以1?1?2 VD2?2M1（4）由（1）可以得到
?1?
RTM1?RTM2?2?1.0?10?21m23?1NA2?2.8?10?21m23?2NA
?2???
2
3.9.2 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90℃降为80℃，取环境温度为20℃。
【解】可以假定热水瓶胆夹层内气体充满及其稀薄的气体热传导条件，单位时间内在单位面积上传递的热量为
JT?C1nv(T?T0)V,m （1） 6NA其中v?8kT'，根式内的T'为降温过程中夹层内气体的平均温度 ?m11K[(90?C?80?C)?20?C]??273K?326K （2） 22?Cp5R,CV,m?而且有 n? （3） kT2 T'?由于在dt时间内漏出的热量是由水的温度降低dT所释放的热量提供的，故 JT?Adt?cm水dT （4） 其中c?4.18?10J?kg?K为水的比热容，将（1）（2）（3）代入（4）后积分有
3?1?1
?t0dt??1cm水6?RT'MmdT?4h
T?T0Ap5R2 3.B.4 1000C的加热室中蒸发的铍（相对原子质量为9）原子束的简单示意图。加热室A中蒸发出来的铍原子经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空
室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为10?20om2，忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）
铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为）10cm，因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。
10?3 【分析】这是泄流问题（它和气体分子碰壁数属于同一类问题），也是一个和分子束分布、自由程、气体压强等基本概念有关的综合性问题。 【解】（1）按照自由程分布，自由程分布在x~x?dx的概率为 P(x)dx??dN1x?exp(?)dx （1） N0??1 （2） e由题中可知原子束的自由程出现在1m~??间的概率为1/e,即
???x0P(x)dx?由（1）（2）可以求出铍原子束与真空室空气碰撞的平均自由程为??1m 为了求出真空室压强，利用平均自由程公式 ??kT （3） 2?pkT?2.93?10?1Pa 2??由此得到 p?
（2）铍原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得
v束?9kT8m9?3.14?1.38?10?23?1273m?s?1 ??278?9?1.67?10?2000m?s?1（3）铍原子进行1m所需平均时间 t?x?5?10?4s v束（4）铍原子束刚进入真空容器时，单位时间内透过单位截面积的平均分子数为n0v束，
其中n0为该截面处铍原子束的粒子数密度，则碰到单位面积器壁上的铍原子数为
n0v束e，
因为从1000 高温容器中出来的铍原子束是与300K真空容器壁相碰撞，两者温度相差非常大，可假设原子束与器壁完全非弹性碰撞，撞击粒子全部粘附在器壁上，每个分子产生的动量改变mv束，所有这些分子撞击容器壁所产生的 压强为