概率论与数理统计习习题集及答案

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§4.2 数学期望的性质

1.设X有分布律: X 0 1 2 3 则E(X2?2X?3)是: p 0.1 0.2 0.3 0.4

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

?5?yx2?y?12. 设(X,Y)有f(x,y)??4,试验证 E(XY)?E(X)E(Y),但X与Y不 ?其他?0相互独立。

§4.3 方差 1.丢一颗均匀的骰子,用X表示点数,求EX,DX.

0?x?2?(x?1)/42.X有密度函数:f(x)?? ,求 D(X). 其他0?

§4.4 常见的几种随机变量的期望与方差 1.设X~?(2),Y~B(3,0.6),相互独立,则E(X?2Y),D(X?2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88; (B)-1和4; (C)1.6和4.88; (D)1.6和-4.88.

2. 设X~U(a,b),Y~N(4,3),X与Y有相同的期望和方差,求a,b的值。 (A) 0和8; (B) 1和7; (C) 2和6; (D) 3和5.

§4.6 独立性与不相关性 矩

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1.下列结论不正确的是( )

(A)X与Y相互独立,则X与Y不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立;

(C)E(XY)?E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)?fX(x)fY(y),则X与Y不相关; 2.若 COV(X,Y)?0,则不正确的是( )

(A)E(XY)?E(X)E(Y);(B)E(X?Y)?E(X)?E(Y); (C)D(XY)?D(X)D(Y);(D)D(X?Y)?D(X)?D(Y); 3.(X,Y)有联合分布律如下,试分析X与Y的相关性和独立性。 X Y -1 0 1 . -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y不相关的( ) (A)必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 5. E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的( ) (A) 必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证X与Y不相关,但不独立。 ?21x2y/4x2?y?1 f(x,y)?? 其他?0

第4章作业答案 §4.1 1: B; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D; 4: 2/3,4/3,17/9; §4.2 1: D; §4.3 1:7/2, 35/12; 2:11/36; §4.4 1:A; 2: B; §4.5 1:0.2, 0.355; 2:-1/144, -1/11; §4.6 1:C; 2:C; 3:X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4:C;5:A;

第5章 极限定理

*§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理

1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余

29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。

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2. 某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求

最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2:0.1788; 3:0.889, 0.841;

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念 1.有n=10的样本;1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4,则样本均值X= ,样本均方差S? ,样本方差S2? 。 2.设总体方差为b2有样本X1,X2,?,Xn,样本均值为X,则Cov(X1,X)? 。 §6.2 数理统计中常用的三个分布 1. 查有关的附表,下列分位点的值:Z0.9= ,?02.1(5)= ,t0.9(10)= 。 2.设X1,X2,?,Xn是总体?2(m)的样本,求E(X),D(X)。 §6.3 一个正态总体的三个统计量的分布 1.设总体X~N(?,?2),样本X1,X2,?,Xn,样本均值X,样本方差S2,则 X???/n1n~ ,X??~ , S/n1?2?(Xi?1i?X)~ ,2?2?(Xi?1ni??)2~ , 第6章作业答案 §6.1 1.x?1.57,s?0.254,s2?0.0646; 2. Cov(X1,X)?b2/n; §6.2 1.-1.29, 9.236, -1.3722; 2.E(X)?m,D(X)?2m/n; §6.3 1.N(0,1),t(n?1),?2(n?1),?2(n);

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

???x1.设总体X的密度函数为:f(x)????0??10?x?1其他,有样本X1,X2,?,Xn,求未知参数? 的矩

估计。

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2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~?(?),为估计?的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数: 2 3 4 5 6 量数: 9 5 3 7 4 试求?的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2 极大似然估计

??(??1)x1.设总体X的密度函数为:f(x)????0?0?x?1其他,有样本X1,X2,?,Xn,求未知参数? 的

极大似然估计。

§7.3 估计量的评价标准 ??2X?1是a 的无偏估计。1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布,有样本X1,X2,?,Xn,证明a 2.设总体X~?(?),有样本X1,X2,?,Xn,证明aX?(1?a)S2是参数?的无偏估计(0?a?1)。 §7.4 参数的区间估计 1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度X~N(?,?2),抽取9根纤维,测量其纤度为:1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求?的置信度为0.95的置信区间,(1)若?2?0.0482,(2)若?2未知 2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得x?12.075㎜,s = 0.0494㎜, 设另件长度X~N(?,?2),取置信度为0.95,(1)求?2的置信区间,(2)求?的置信区间。 第7章作业答案 §7.1 1:(X2); 2: 5, 4.97; 1?X§7.2 1:(n?lnXi?1n?1)2; i§7.3

§7.4 1:(1.377,1.439),(1.346,1.454); 2:(0.0013,0.0058);(0.036, 0.076)

第8章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念

1. 某种电子元件的阻值(欧姆)X~N(1000,400),随机抽取25个元件,测得平均电阻值x?992,试在??0.1下检验电阻值的期望?是否符合要求?

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2. 在上题中若?2未知,而25个元件的均方差s?25,则需如何检验,结论是什么?

§8.2 假设检验的说明

1. 设第一道工序后,半成品的某一质量指标X~N(?,64),品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验H0:???0,H1:???0;n?16,当X与?0的绝对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。 §8.3 一个正态总体下参数的假设检验

1. 成年男子肺活量为??3750毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为x?3808毫升,设方差为?2?1202,试检验肺活量均值的提高是否显著(取??0.02)? 第8章作业答案 §8.1 1:拒绝H0:??1000; 2: 接受H0:??1000; §8.2 1:0.1; §8.3 1:拒绝H0;

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