概率论与数理统计习习题集及答案

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《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: . 2. 设S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}:则 (1)A?B? ,(2)AB? ,(3)AB? , (4)A?B= ,(5)AB= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6,则 (1) P(AB)? , (2)(P(AB))= , (3)P(A?B)= . 2. 已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3, 则P(AB)= . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2, 则P(A?B)? 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说

明两人抽“中‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地

取一个球,求取到红球的概率。

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§1 .7 贝叶斯公式

1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,

B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。

A B L R C D

3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,

求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案 §1 .1 1:(1)S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; (2)S?{0,1,2,3} 2:(1)A?{1,3,5}B?{3,4,5,6}; (2)A?{正正,正反},B?{正正,反反},C?{正正,正反,反正}。 §1 .2 1: (1) ABC;(2) ABC;(3) ABC;(4)A?B?C;(5) AB?AC?BC; (6) AB?AC?BC 或 ABC?ABC?ABC?ABC;

2: (1)A?B?{x:1?x?4};(2)AB?{x:2?x?3};(3)AB?{x:3?x?4};

(4)A?B?{x:0?x?1或2?x?5} ;(5)AB?{x:1?x?4}。

§1 .3 1: (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)= 0.2, (3) P(A?B) = 0.7. 2:P(AB))=0.4.

8101019810101910/C30(C22?C8C22?C82C22)/C30?C8C22)/C30§1 .4 1:(1)C82C22,(2)(,(3)1-(C22.

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2: P43/43.

§1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。 §1 .6 1: 设A表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10

设B表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)

21822???? 10910910两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:

p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45

§1 .7 1:(1)94% (2)70/94; 2: 0.993; §1 .8. 1: 用A,B,C,D表示开关闭合,于是 T = AB∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) =

?p2?p2?p4?2p2?p4 2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量的概念,离散型随机变量 1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X的分布律. 2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。 §2.2 0?1分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布,求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率; 2 设随机变量X有分布律: X 2 3 , Y~π(X), 试求: p 0.4 0.6 (1)P(X=2,Y≤2); (2)P(Y≤2); (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 1 一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻

(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少? (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少? (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?

2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?

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§2.4 随机变量的分布函数

x??1?0?1设随机变量X的分布函数是: F(x) = ?0.5?1?x?1

?1x?1?(1)求 P(X≤0 ); P?0?X?1?;P(X≥1),(2) 写出X的分布律。

?Ax?2 设随机变量X的分布函数是:F(x) = ?1?x??0x?0x?0, 求(1)常数A, (2) P?1?X?2?.

§2.5 连续型随机变量 ?kx0?x?11 设连续型随机变量X的密度函数为:f(x)?? ?0其他(1)求常数k的值;(2)求X的分布函数F(x),画出F(x) 的图形, (3)用二种方法计算 P(- 0.5

x?1?0?2 设连续型随机变量x?0的分布函数为:F(x) = ?lnx1?x?e ?1x?e?(1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形,(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4x2+ 4Kx + K + 2 = 0

有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X服从??0.2的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。

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