?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.
?1a5???2003年考研数学（二）真题
三、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .
214（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） y?2的麦克劳林公式中x项的系数是__________.
（4） 设曲线的极坐标方程为??e(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段
a?xn弧与极轴所围成的图形的面积为__________.
?1?11???TT（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????11?1，则
????1?11???T?= .
（6） 设三阶方阵A,B满足AB?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若
2?101??，则
A??020B?________.
?????201??二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]
n??n??3n?11?xndx, 则极限limnan等于 （2）设an??n?1xn??20
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n
(A) (1?e)?1. (B) (1?e)?1.
(C) (1?e)?1. (D) (1?e)?1. [ ]
（3）已知y?3?1232323?12xxyx是微分方程y????()的解，则?()的表达式为 lnxyxyy2y2 （A） ?2. (B) 2.
xxx2x2 (C) ?2. (D) 2. [ ]
yy（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x ?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4dx, 则
0tanxx? (A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ] （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ ]
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??ln(1?ax3),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 三 、（本题满分10分）设函数 f(x)??ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
?x?1?2t2,d2y?u1?2lnte(t?1)所确定，求2 设函数y=y(x)由参数方程?y?dudx??1u?五 、（本题满分9分）计算不定积分 六 、（本题满分12分）
x?9.
?xearctanx(1?x)232dx.
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方2dydy程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满分12分）
4讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx的交点个数.
3的解. 2八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(Q，且线段PQ被x轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；
(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容
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21,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为22
器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面
3积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.
2(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限lim?x?af(2x?a)存在，证明：
x?a(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点?，使
b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)2(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b?a)?十 一、（本题满分10分）
2?bf(x)dx. ?a??a?220????1若矩阵A?82a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使PAP??.
????006??十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
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