.
P1P2=x=
，y=
．
他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为
；
②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： （﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3） ；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；
（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；
（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值． 【解答】解：
（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）， ∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1， ∴Q1Q=
，
=
，
∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+
∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，
.
.
∴PQ==，
，y=
；
即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5）， ∴MN=故答案为：
；
=
，
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），
∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1）， 设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3， ∴此时D点坐标为（﹣3，3），
当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1）， 当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3）， 综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，
又对称性可知EP=EM，FP=FN， ∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，
∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小， 设R（x， x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n， ∴
=2，解得x=﹣（舍去）或x=，
∴R（，）， ∴
∴P（2，1），
.
=n，解得n=1，
.
∴N（2，﹣1）， 设M（x，y），则∴M（，∴MN=
即△PEF的周长的最小值为
），
=
， ．
=，
=，解得x=，y=
，
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得OQ和PQ的长是解题的关键，在（2）中注意中点坐标公式的应用，在（3）中确定出E、F的位置，求得P点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
25．（12分）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．
（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？
②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值． 【分析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD； ②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；
（2）首先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；
.
x+m
.
（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y=将y=
x，
x向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计
算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可． 【解答】解：（1）①△OBC与△ABD全等， 理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形， ∴∠OBA=∠CBD=60°， OB=AB，BC=BD，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD（SAS）； ②∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD=∠BOC=60°， ∴∠OBA=∠BAD， ∴OB∥AD，
∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）如图2，∵AC2=AEAD， ∴
，
∵∠EAC=∠DAC， ∴△AEC∽△ACD， ∴∠ECA=∠ADC， ∵∠BAD=∠BAO=60°， ∴∠DAC=60°， ∵∠BED=∠AEC， ∴∠ACB=∠ADB， ∴∠ADB=∠ADC， ∵BD=CD， ∴DE⊥BC，
Rt△ABE中，∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°，
.