行的下一段刀具轨迹的起点，然后沿此切削行的下一段刀具轨迹进行切削加工。
（5）如果要求裁剪曲面与岛屿的边界精确成形，最后应沿岛屿边界按交线加工方式进行清根加工。
第十节、曲面型腔加工刀具轨迹生成
曲面型腔是机械零件上比较典型的加工单元，种类繁多，形状各异，但归纳起来可以分为两大类：普通曲面型腔和带岛屿曲面型腔。曲面型腔可看作是在一张具有封闭内环的曲面上沿给内环边界挖腔而生成的。在三坐标数控机床上加工曲面型腔，要求型腔型面沿Z坐标方向单调。曲面型腔的加工一般分为粗铣型腔和型腔型面精加工。粗铣性的目的是挖去型腔的大部分加工余量，切削出型腔的基本形状；型腔型面精加工是在型腔型面留有少量加工余量的基础上加工型腔型面。
10.1、曲面型腔粗加工
（1）不具备型腔基本型的曲面型腔粗加工 确定铣削加工余量在毛坯上的最高位置； 确定型腔分层铣削的切削深度；
从铣削加工余量在毛坯上的最高位置开始，根据分层深度依次用垂直于Z轴的截平面去截曲面型腔，形成一系列封闭的截交线，当没有截交线时，即终止分层切削扫描；
在每一截平面内按平面型腔的行切或环切加工方式确定每一层的刀具轨迹； 如果曲面型腔带岛屿，不宜采用螺旋线或斜线进刀，则需要预先钻一个工艺孔，作为截平面铣削的起刀位置。工艺孔一般选在型腔最深的位置。
粗铣型腔加工的操作顺序是：先钻工艺孔，然后分层铣削，直到铣削完最后一层。 （2）具备型腔基本型的曲面型腔粗加工
当型面加工余量较大时，宜采用上述垂直于Z坐标的截平面法，用环切加工方式走刀，一般走一条最多二条刀具轨迹即可，且无需钻工艺孔；
当型面加工余量较小时，可直接采用型腔精加工方法。
10.2、曲面型腔精加工
曲面型腔精加工的主要方法有截平面法和投影法，但从本质上讲，曲面型腔型面精加工刀具轨迹的计算可以归结为组合曲面、裁剪曲面、曲面交线区域、曲面间过渡区域以及复杂曲面等加工特征刀具轨迹的计算和编辑。曲面型腔型面的精加工一般采用球形刀，对于一些特殊的型腔，平底刀也有一定的应用。
第十一节、复杂多曲面加工刀具轨迹生成
复杂多曲面是指多张曲面之间的连接关系复杂，曲面与曲面之间可以是切矢连续，也可以是位置连续甚至可以有微小的缝隙或重叠。
复杂曲面在工业中十分普遍，一方面表现为某些曲面经过若干次裁剪、拼接和过渡处理之后，最终成为复杂多曲面，甚至由于CAD系统的曲面造型功能不完善，曲面片与曲面片之间有微小缝隙。另一方面表现在零件设计上，有的零件表面往往由多张不规则曲面片构成，曲面片之间一般没有严格的几何连续性要求。复杂多曲面数控加工刀具轨迹的计算功能降低了CAD/CAM系统对曲面设计能力的要求，是工程中应用的需要。而且复杂多曲面的连续加工能力对于一个曲面数控加工编程系统来说是十分重要的。
复杂多曲面刀具轨迹的计算常用的一种处理方法是：先将多张曲面逼近表示成一张曲面，一般用小三角片逼近表示，然后采用多面体曲面加工刀具轨迹计算方法或离散刀具轨迹计算方法生成逼近曲面加工的刀具轨迹。对于各曲面片之间有缝隙或重叠的情形，多张曲面的整体逼近表示有困难。复杂多曲面加工刀具轨迹的计算的另一种方法是截平面法回投影法。
第五章、多坐标端铣数控加工刀位计算方法 第一节、球形刀端铣数控加工基本原理
采用球形刀端铣加工三维曲面，只要使球形刀的球心位于所加工表面的等距面上，不论刀具路线及刀轴方向如何安排，均能铣削出所要求的曲面形状。球形刀端铣加工三维曲面，刀心约束在加工曲面的的等距面上，刀轴方向则可以根据曲面形状和约束面的形状和位置改变，这就是说，可以采用三坐标、四坐标或五坐标进行加工。
第二节、球形刀三坐标曲面加工刀位计算方法 2.1、基本原理
球形刀三坐标端铣数控加工，要求刀轴方向始终保持不变，并与机床主轴方向一致，这就要求加工表面在刀轴方向上单调。
由于三坐标加工刀轴方向不能改变，因而刀刃上的切触点随加工表面在Z方向上坡度的不同而变化。一般来说，加工表面与Z轴的夹角随曲面上的加工位置的不同而不断变化，这有利于提高球形刀的寿命。球形刀三坐标加工的缺点是切削速度随刀刃上切触点位置的不同而变化，球形刀端点与加工表面切触时切削速度为零，切削性能较差。因此，采用球形刀加工较平坦的曲面时，将加工曲面的平坦方向与XOY平面倾斜一定的角度对加工速度和加工表面质量是有益的，当然应保证加工曲面在Z坐标方向上单调。
2.2、刀位计算方法
球形刀三坐标加工的刀位指的是刀心，其刀轴矢量为（0，0，1）是固定不变的。球形刀铣削加工表面上任一点P的刀心计算公式为：
写成分量形式为：
2.3、加工误差分析及补偿方法
数控加工中引起加工误差的因素，有机床的运动精度误差，刀具的尺寸误差，机床、刀具及零件的热变形和弹性变形误差，还有编程中的计算误差及加工方法引起的误差等，这里只讨论加工方法引起的误差。
（1）加工误差分析
当球形刀的刀心沿加工表面的等距面上某一曲线作直线插补运动时，加工表面与刀具之间的局部几何关系近似如下图所示。
设为加工表面在插补段内沿进给方向的法曲率，为插补段内加工表面法向矢量沿插补直线方向的转动角。假定半径为R的球形刀的刀心从点沿直线走到点，则刀具切入曲面的深度为：
式中：是加工表面法向矢量转动引起的加工误差，称为法向矢量转动误差；是直线逼近误差。
有上图所示的几何关系可得： 即：
始终，——加工表面在插补段内的弧长。 即： 所以：
用弦长L代替弧长，可得： 由上述推导可以得到如下结论：
插补段内最大加工误差发生在中点附近；加工误差包括直线逼近误差和法向矢量转动误差，且与插补段长度L的平方成正比；矢量转动误差是由于加工表面法向矢量沿插补直线方向的转动引起的，且与刀具半径成正比。
（2）法向矢量转动误差补偿
法向矢量转动误差是由于加工表面法向矢量沿插补直线方向的转动引起的，通过休整刀心位置的方法可以对法向矢量转动误差进行补偿。
2.4、走刀步长和加工带宽度的计算
走刀步长和加工带宽的计算依据是控制加工误差的大小。经验告诉我们，加工精度要求越高，走刀步长和加工带宽就越小，编程效率和加工效率越低。因此，在满足加工精度要求的前提下，应尽量加大走刀步长和加工带宽，提高编程效率和加工效率。
（1）走刀步长的计算
当补偿了法向矢量转动误差之后，剩余的加工误差就只有直线逼近误差（有时也称为弦差：chordal deviation）了，因此可用直线逼近误差作为走刀步长的计算依据。
对任一指定的直线逼近误差极限，当时，有：
即走刀步长L可用下式进行计算：
（2）加工带宽的计算
切削行宽度，即两条刀具轨迹之间的线间距，与刀具半径R残余高度h密切相关，用球形刀加工曲面时，刀痕在切削行间构成了残余高度h，由几何关系可以看出，残余高度h与切削行宽度dw之间的关系为：
若允许的最大残余高度为，经推导可得到切削行宽度：
式中：R为刀具半径；为加工表面沿切削行进给方向的法曲率。
加工编程中，可以选择采用固定走刀步长和加工带宽的方式，也可以选择采用固定直线逼近误差和残余高度的方式。选择哪一种方式，大致的原则是：
当加工曲面的曲率半径很大、而且没有尖角时，或者曲面加工精度要求不是很高时，采用固定走刀步长和加工带宽的方式较合理，因为计算简单，编程效果高，程序的可靠性也高；当加工曲面的曲率半径很小，而且有尖角时，或者曲面加工精度要求很高时，应该采用固定弦差和残余高度的方式进行编程。
2.5、刀具半径选择
（1）计算依据
球形刀刀具半径应小于加工表面凹处的最小曲率半径。 （2）影响因素
除考虑加工表面凹处的最小曲率半径之外，刀具半径的选择还需考虑以下因素： 加工效率——刀具半径越大，在同样的残余高度下，切削行越大，加工效率越高； 法向矢量转动误差——法向矢量转动误差与刀具半径成正比。对于凸曲面，理论上刀具半径越大越好，但实际上必须选择恰当的刀具半径，特别是在不进行法向矢量转动误差补偿的情况下，应该核校法向矢量转动误差，如果超差，应减小刀具半径，以减小法向矢量转动误差；
刀具的大小应与加工表面的大小匹配——不应出现一个很小的加工表面，而采用一把半径很大的球形刀，否则刀具容易与非加工表面发生干涉；
取规范围——所取的刀具半径应尽量符合规范或标准系列，以便容易获得所需半径的球形刀。