1.3、与刀具轨迹生成有关的几个基本概念
（1）切触点（cutting contact point）
指刀具在加工过程中与被加工零件曲面的理论接触点。对于曲面加工，不论采用什么刀具，从几何学的角度来看，刀具与加工曲面的接触关系均为接触。
（2）切除点曲线（cutting contact curve）
指刀具在加工过程中由切触点构成的曲线。切触点曲线是生成刀具轨迹的基本要素，既可以显式地定义在加工曲面上，如曲面的等参数线、二曲面的交线等，也可以隐式定义，使其满足一些约束条件，如约束刀具沿导动线运动，而导动线的投影可以定义刀具在加工曲面上的切触点，还可以定义刀具中心轨迹，切触点曲线由刀具中心轨迹隐式定义。这就是说，切除点曲线可以是曲面上实在的曲线，也可以是对切触点的约束条件所隐含的“虚拟”曲线。
（3）刀位点数据（cutter location data，简称为CLData）
指准确确定刀具在加工过程中的每一位置所需的数据。一般来说，刀具在工件坐标系中的准确位置可以用刀具中心点和刀轴矢量来进行描述，其中刀具中心点可以是刀心点，也可以是刀尖点，视具体情况而定。
（4）刀具轨迹曲线
指在加工过程中由刀位点构成的曲线，即曲线上的每一点包含一个刀轴矢量。刀具轨迹曲线一般由切触点曲线定义刀具偏置计算得到，计算结束存放于刀位文件（CLData file）之中。
（5）导动规则
指曲面上切触点曲线的生成方法（如参数线法、截平面法）及一些有关加工精度的参数，如步长、行距、两切削行间的残余高度、曲面加工的盈余容差（out tolerance）和过切容差（inner tolerance）等。
（6）刀具偏置（tool offset） 指由切触点生成刀位点的计算过程。
1.4、曲面加工刀具轨迹生成计算过程
由以上定义，可以将曲面加工刀具轨迹的计算过程简略地表述为：给出一张或多张待加工曲面（零件面），按导动规则约束生成切触点曲线，由切触点曲线按某种刀具偏置计算方法生成刀具轨迹曲线。由于一般的数控系统有线性、圆弧等少数几种插补功能，所以一般需将切除点曲线和刀具轨迹曲线按点串方式给出，并保证加工精度。
在个别情况下也有例外，如用球形刀三坐标加工比较光顺的曲面时，可以直接根据曲面计算得到其等距面，刀具轨迹曲线完全由等距面确定。这时切触点曲线的定义和刀具偏置计算融合在等距面的构造过程中，导动规则约束了等距面的离散，即刀位点的生成过程。
第二节、参数线法
曲面参数线加工方法是多坐标数控加工中生成刀具轨迹的主要方法，特点是切削行沿
曲面的参数线分布，即切削行沿u线或v线分布，适用于网格比较规整的参数曲面的加工。
基于曲面参数线加工的刀具轨迹计算方法的基本思想是利用Bezier曲线曲面的细分特性，将加工表面沿参数线方向进行细分，生成的点位作为加工时刀具与曲面的切触点。因此，曲面参数线加工方法也称为Bezier曲线离散算法。
Bezier曲线离散算法按照离散方式可分为四叉离散算法和二叉离散算法。由于前者占用的存储空间大，因此在刀具轨迹的计算中一般采用二叉离散算法。
在加工中，刀具的运动分为切削行的走刀和切削行的进给两种运动。刀具沿切削行走刀是所覆盖的一个带状曲面区域，称为加工带。二叉离散过程首先沿切削行的行进给方向对曲面进行离散，得到加工带，然后在加工带上沿走刀方向对加工带进行离散，得到切削行。
二叉离散算法要求确定一个参数线方向为走刀方向，假定为u参数曲线方向，相应的另一参数曲线v方向即为沿切削行的行进给方向，然后根据允许的残余高度计算加工带的宽度；并以此为基础，根据v参数曲线的弧长计算刀具沿v参数曲线的走刀次数（即加工带的数量）；加工带在v参数曲线方向上按等参数步长（或局部按等参数步长）分布。球形刀与环行刀加工带宽的计算方法不同。
基于参数线加工的刀具轨迹计算方法有多种，比较成熟的有等参数步长法、参数筛选法、局部等参数步长法、参数线的差分算法及参数线的对分算法等。
2.1、等参数步长法
最简单的曲线离散算法是等参数步长法，即在整条参数线上按等参数步长计算点位。参数步长和曲面加工误差没有一定关系，为了满足加工精度，通常步长的取值偏于保守且凭经验。这样计算的点位信息比较多。由于点位信息按等参数步长计算，没有用曲面的曲率来估计步长，因此，等参数步长法没有考虑曲面的局部平坦性。但这种方法计算简单，速度快，在刀位计算中常被采用。
2.2、参数筛选法
按等参数步长法计算离散点列，步长取值使离散点足够密，然后按曲面的曲率半径、加工误差从离散点列中筛选出点位信息。
参数筛选法克服了等参数步长的缺点，但计算速度稍慢一些。这个方法的优点是计算的点位信息比较合理且具有一定的通用性。
2.3、局部等参数步长法
在实际应用中，也常采用局部等参数步长离散算法：即加工带在v参数曲线方向上按局部等参数步长（曲面片内）分布；在走刀路线上，走刀步长根据容差进行计算，方法是在每一段u参数曲线上，按最大曲率估计步长，然后按等参数步长进行离散。采用局部等参数步长离散算法来求刀位点，不仅考虑了曲率的变化对走刀步长的影响，而且计算方法也比较
简单。
（1）局部最小走刀步长估计
走刀步长的计算依据是控制加工误差的大小，加工精度要求越高，走刀步长越小，编程速度和加工效率越低。因此，在满足加工精度要求的前提下，尽量加大走刀步长，提高编程速度和加工效率。经验表明，局部最小走刀步长估计可用直线逼近误差作为控制误差的依据。
（2）离散点数估计
从上述描述可知，在每一段走刀参数曲线上，离散点数可按下述方法进行估计：N=S/L。 局部等参数步长二叉离散算法计算速度较快、省空间，但要用到堆栈，多片拼接时，堆栈也很大，控制不灵活。无论u向或v向，离散只能在原曲面片内进行，不能跨越曲面边界或整个曲面片，故刀位点也较多，这在一定程度上增加了后续处理的计算量。
2.4、参数线的差分算法
对于走刀路线上的一批等参数步长离散点的位置，采用向前差分方法将大大加快计算速度。
（1）求u线方程
（2）计算插值点的差分公式
参数线的差分算法是效率较高的局部等参数步长离散算法，在参数曲面加工的刀具轨迹计算中应用较为广泛。
2.5、参数线的对分算法
参数线的对分算法是曲线离散算法的一种，即在曲线离散算法中，在曲线段参数的中点将曲线离散一次，得到两个曲线段。参数线的对分算法适用于刀具诡计的局部加密（在刀具轨迹的交互编辑中可用到）。
2.6、曲面参数线加工算法的优缺点
参数线加工算法是各种曲面零件数控加工编程系统中生成切削行刀具轨迹的主要方法，优点是刀具轨迹计算方法简单，计算速度快；不足之处是当加工曲面的参数线分布不均匀时，切削行刀具轨迹的分布也不均匀，加工效率也不高。
第三节、截面线法
3.1、截平面法加工的基本思想
截平面法加工的基本思想是指采用一组平面去截取加工表面，截出一系列交线，刀具与加工表面的切触点就沿着这些交线运动，完成曲面的加工。该方法使刀具与曲面的切触点
轨迹在同一平面上。
截平面可以定义为一组平行的平面，也可以定义为一组绕某直线旋转的平面。一般来说，截平面平行于刀具轴线，即与Z坐标轴平行。平行截面与X轴的夹角可以为任意角度。
截平面法一般采用球形刀加工曲面，一些特殊情况下也可以采用环行刀或平底刀。对于采用球形刀加工曲面，由于刀心实际上是在加工表面的等距面上运动。因此，截平面法加工曲面也可以采用构造等距面的方法，使刀具沿截平面与加工表面等距面的交线运动，完成曲面的加工。
需要指出的是，刀具沿截平面与加工表面的交线运动一般为三轴联动运动方式，这是因为尽管刀具与加工表面的切触点在同一截平面内，但由于在截交线上的曲面法矢的转动，刀心一般并不在同一截平面内；刀具沿截平面与加工表面等距面的交线运动为二轴联动运动方式，刀具与加工表面的切触点一般不在同一截平面内，但偏离截面不太远。
对于曲面区域和组合曲面的加工，无论采用何种截平面法均可，不过采用刀具沿截平面与加工表面的交线运动加工效果要好一些，这是因为刀具与加工表面的切触点被限制在同一截平面内。对于复杂曲面及曲面型腔的加工，采用截平面与加工表面等距面的求交生成刀具轨迹计算方法要简单得多，这是因为：当两曲面相交时，截平面与两加工表面的交线在同一截平面内，而两条刀心轨迹是两条空间曲线，并不在同一截平面内，一般情况下不相交，这样在曲面相交处的刀位点计算很困难。采用截平面与加工表面等距面的交线作为刀具轨迹，这个问题便不存在，当然，这时需要解决加工表面等距面的生成问题。
另外，假如所选用的数控机床为三轴二联动机床，则必须采用截平面与加工表面等距面的交线作为刀具轨迹，以适应机床坐标运动的要求。
截平面法对于曲面网格分布不太均匀及由多个曲面形成的组合曲面的加工非常有效，这是因为刀具与加工表面的切触点在同一平面上，从而使加工轨迹分布相对比较均匀内，加工效率也比较高。
3.2、截平面的选择
截平面法加工中最常用的截平面为平行于XZ平面或YZ平面的一组平行平面，有的情况下也采用与X轴成一定角度的一组平行平面作为截平面。对于具有较为平坦曲面的组合曲面的加工，采用斜截平面法加工，效果比较好。在一些特殊情况下也可以采用一组绕Z轴旋转的平面作为截平面。
3.3、等距曲面的生成
对于雕塑曲面。目前还没有比较好的等距面表示方法。在数控编程系统中，一般都先将加工表面在一定的精度控制下进行离散，求出加工表面上所有离散点的等距点，再采用一定的数学方法将这些等距点拟合成等距曲面，或直接用等距点网格代替等距面。