(D) FX(x)FY(x)必为某一随机变量的分布函数．
注：（1）应该熟悉一个函数成为密度函数和分布函数充分必要条件；
（2）如果熟悉相互独立的两个随机变量X ，Y的函数Z?max{X,Y}的分布为FX(x)FY(y)，则可得到答案D；
【练习】设F1(x),F2(x)为两个分布函数，相应概率密度函数为f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是（ D ）
（Ａ）f1(x)f2(x) (B) 2f2(x)F1(x)； （Ｃ）f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)
【例2】设随机变量X的密度函数为fX(x)，分布函数为FX(x)，且fX(?)x?()fXx，则对于任意实数a，FX(?a)?（ D ）
（A）FX(a) （B）0.5?FX(a) （C）2FX(a)?1 （D）1?FX(a) 解 FX(?a)???a??f(t)dt????af(u)du?1?F(a)
?0,x?0;?【例3】设随机变量X的分布函F(x)??0.5,0?x?1; 则P{X?1}=（ C ）
?1?e?x,x?1?1 （A）0 （B）1 (C)?e?1 (D)1?e?1
2分析：考察利用分布函数求概率，属于基本题。
注：（1）记住P(X?x)?F(x?0)，便可由此轻易得到其他相关公式； （2）这个随机变量是混合型随机变量。
【例4】设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密
?af(x),x?0度, 为使得f(x)??1（ A ） (a?0,b?0)为概率密度,则a,b应满足，
?bf2(x),x?0(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4 (C)a?b?1 分析：考察密度函数的性质，属于基本题。答案：A 思考：设随机变量X的密度函数为f(x)，求EX,DX。 【练习】设X则（ A ）
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(D)a?b?2
N(?,?2)，密度函数为f(x)，且a?b?c满足f(a)?f(c)?f(b)，
a?cb?ca?ba?c??????（A）；（B）；（C）a???b（D）b???c 2222分析 根据正态分布函数的图像关于x??对称，可知
a?b???2??b?c?2??a，整理即得。
题型2 随机变量的分布律和分布函数的求解
?f1(x), a?x?b?Xf(x)?设随机变量的概率密度为 ?f2(x), b?x?c求分布函数F(x)。【例5】
?0, 其他?x解 F(x)?????0,x?a?x???af1(t)dt,a?x?bf(t)dt??b x??f1(t)dt??f2(t)dt,b?x?cb?a??1,x?c11P(X??1)?,P(X?1)?设随机变量X的绝对值不大于1，。在事件【例6】
84{?1?X?1}出现的条件下，X在区间（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概
率与该子区间的长度成正比。试求X的分布函数F(x)?P(X?x)。 解 ?x?R,F(x)?P(X?x),当x??1时，F(x)?0；当x?1时，F(x)?1； 当?1?x?1时，
F(x)?P(X?x)?P(X??1)?P(?1?X?x)1??P(?1?X?1)?P(?1?X?x|?1?X?1)81 ??[1?P(X??1)?P(X?1)]?k(x?1)8111??[1??]?k(x?1)88415???k(x?1)88由已知条件，当(a,b)?(?1,1)时，P(a?X?b|?1?X?1)?k?(b?a) 注意到，1?P(?1?X?1|?1?X?1)?k?2，所以k?1， 2 14
?0,当x??1?15?综上F(x)??+(x?1),当?1?x?1
?816??1,当x?1注意： X为混合型随机变量。
3的液体，假设一个小孔出现在容器4的6个侧面的任何一部位是等可能的，现在容器侧面出现了一个小孔，液体经此孔流出，求
3（1）容器内剩余液体液面的高度X的分布函数F(x)；（2）P(X?)
43解 ?x?R,F(x)?P(X?x),当x?0时，F(x)?0；当x?时，F(x)?1；
43当0?x?时，{X?x}意味着小孔出现在下底面或者除了上顶面以外的四个侧
41?4x面中与底面距离?x的区域，由几何概型可知：?x?R,F(x)?P(X?x)?。
6（以下略）
【练习】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红
【例7】一边长为1的正方体容器内赚装有
灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量
5X的分布律、分布函数和数学期望.
题型3 利用常见分布求解概率
【例8】设随机变量X
N(?,?2)，则随着?的增大，概率P(|X??|??)
（B）单调减小。 （D）增减不定。
（A）单调增大。 （C）保持不变。
（2013，1）、设X1,X2,X3是随机变量，且 【例9】
X1~N(0,1),X2~N(0,4),X3~N(5,9)，pi?P(?2?Xi?2)，则（ ） （A） p1?p2?p3；（B）p2?p1?p3；（C）p3?p1?p2；（D）p1?p3?p2 解：事实上，设X~N(0,1)，则
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p1?P(?2?X1?2)?2?(2)?1
p2??(1)??(?1)?P(?1?X?1)p1?2?(1)?1，
77p3??()??(1)?P(1?X?)，
33根据标准正态分布的图像，可以知道，p2?p3
（2013，1）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为正常数，则【例10】
P(Y?a?1|Y?a)? 解 可直接计算，也可由指数分布的无记忆性，得P(Y?a?1|Y?a)?1?e?1。 【例11】设XN(2,?2)，且P(2?X?4)?0.3，则P(X?0)?
22解 P(2?X?4)?0.3??()??(0)?0.3??()?0.8
???22P(X?0)??()?1??()?0.2
??【练习】若随机变量X服从N(2,?2),且P(2?X?4)?0.3则P(X?0)?___0.2__.
题型4 常见分布的逆问题
22【例12】设随机变量X~N(?,?)，且二次方程y?4y?X?0无实根的概率
为0．5，则μ＝______4____.
【例13】设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足
P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于[ Ｃ ]
(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? .
2分析：考察正态分布的上?分位点的概念。
评注：应该注意一般分布的上?分位点的概念。
22【例14】 设随机变量X服从正态分布N(?1,?1)，Y服从正态分布N(?2,?2)，
且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则必有 Ａ （A）?1??2. （B）?1??2. （C）?1??2. （D）?1??2.
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