的概率为0.001,设此类被保人一年内死亡的人数为 X,则X服从什么分布?
设此类被保人一年内活着的人数为 Y,则Y服从什么分布? 3、泊松分布:P?X?k???ke??k! (k?0,1,2,),记为X~P(?)。
泊松定理 对确定的n和p,如果n很大,而np不太大(比如n?50,np?10)时,二项分布可以用泊松分布近似,即
P?X?k??Cp(1?p)knkn?k??ke??k! (其中??np)
4、几何分布
P?X?k??p(1?p)k?1 (k?1,2,)
写任何离散型随机变量的分布律时,一定要写上随机变量的取值范围!!
§2随机变量的分布函数
一、分布函数定义
1、随机变量X的分布函数:F(x)?P?X?x?,(???x???)
分布函数完整地描述了随机变量X的统计规律性。
注:分布函数、密度函数的定义域都是R,任何情况下都要在整个实数域上讨论这两个函数!!
2、离散型随机变量X,若已知分布律为 P?X?xk??pk,k?1,2,,
x?x1;?0,?p,x1?x?x2;?1??p?p2,x2?x?x3;则X的分布函数为F(x)??1
,??p1?pn?1,xn?1?x?xn???注意:F(x)的各区间xn?1?x?xn,之所以写成前闭后开的形式,是为了使得F(x)满足右连续性,对于离散型和混合型随机变量一定要这样写!以后即便是对于连
续型随机变量的分布函数,对于区间端点也尽量按照这种写法。 二、 分布函数的性质
(1)0?F(x)?1;F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1;
x???x???(2)F(x)是x的单调非降右连续函数; (3)用分布函数表示概率
9
?P?a?X?b??F(b)?F(a)??P?a?X?b??F(b)?F(a?0)? P?X?a??F(a?0)??P?a?X?b??F(b?0)?F(a)??P?a?X?b??F(b?0)?F(a?0)?P?X?a??F(a)?F(a?0)?注:(1)任何随机变量都存在分布函数。离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数,但密度函数不一定连续;
(2)只有具有密度函数的随机变量才称为连续型的随机变量,但分布函数连续却不一定是连续型的随机变量;
(3)混合型随机变量的分布函数一般来说不是连续函数,因此可以据此判断其类型。
§3 连续型随机变量
一 、连续型随机变量的定义
1、随机变量X的分布函数为F(x)??2、密度函数的性质 (1)f(x)?0; (2)归一性:???x??f(t)dt,
??f(x)dx?1
(3)F(x)在(??,??)上是x的连续函数; (4)对任何实数值a,恒有P?X?a??0;
(5)在f(x)的连续点,F(x)可导,且F?(x)?f(x); (6)对任何值a,b都有
P?a?X?b??P?a?X?b??P?a?X?b??P?a?X?b???f(x)dx
ab更一般的,
P(X?G)??f(x)dx?GG?(f?0)?f(x)dx
关于连续型随机变量的所有问题都可以归结为这个公式。对一个分布函数F(x),概率密度函数不是惟一的;但对一个密度函数,分布函数是唯一的。 二、重要的连续型随机变量 1、均匀分布X~U(a,b):
10
?0, x?a,1??x?a,a?x?b,??密度函数f(x)??b?a 分布函数F(x)??,a?x?b,
??b?a?0, others.??1, 其他.d?c, b?a称均匀分布满足几何概率。即X在[a,b]的任一子区间取值的概率