解 由行列式的定义，Y?j1j2?(?1)?(j1j2jn)jnX1j1X2j2Xnjn，又由于随机变量
Xij(i,j?1,2,,n;n?2)独立同分布，EXij?2,，所以根据数学期望的性质得
EY???j1j2?(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1X2j2Xnjn)E(Xnjn)
j1j2??(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1)E(X2j2)2n?0(?1)?(j1j2jnjn)j1j2?x?1?Fx?0.3?x?0.7????? 【例2】设随机变量X的分布函数为??2??其中??x?为标准正态分布函数，则EX? DX? 分析：结合正态分布的分布函数求解随机变量的期望。 解：随机变量X的分布函数f(x)?F??x??0.3?(x)?0.35?(?x?1)，所以 2??x?1x?1EX??x[0.3?(x)?0.35?()]dx?0.3?x?(x)dx?0.35?x?()dx??????22
?0?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.7???E(X2)??x2[0.3?(x)?0.35?(???2?????x?1x?1)]dx?0.3?x2?(x)dx?0.35?x2?()dx????222
?0.3?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.3?0.7E(2Y?1)?0.3?0.7?5?3.8DX?E(X2)?(EX)2?3.8?0.72?3.31
【例3】设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记
U=max{X,Y},V=min{ X,Y }，则E(UV)= E（U+V）=
答案：E(UV)?E(XY)?EX?EY；E(U?V)?E(X?Y)?E(X)?E(Y) 注：此题在2011和2012连续考过。
【例4】设EX??,DX??2，则证明?x?R，E(X?x)2?E(X??)2。 证明 令f(x)?E(X?x)2?x2?2?x??2，则??
?0,x??2?0.2,?2?x?1?【例5】设X的分布函数为F(x)??，Y?X2?1,求E(XY)? ?0.8,1?x?2??1,x?2
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解 先写出X的分布列，再求解即可。
【例6】设X的密度函数为f(x)?解
12?1dx?min{x,1}dx22???0?(1?x)?1?x
?2111ln21?[?x?dx?dx??22?01?1?x1?x?2EY?E(min{|X|,1})??min{|x|,1}?1,?x?R，令Y?min{|X|,1}，求EY
?(1?x2)【例7】随机变量X与Y相互独立同分布，X~N(?,?2)，Z?max{X,Y}
W?min{X,Y}求EZ,EW
分析：注意到Z?max{X,Y}?X?Y?|X?Y|X?Y?|X?Y|，W?min{X,Y}?
22X?Y~N(0,2?2)?E|X?Y|将会大大简化计算。 【例8】设X的密度函数为f(x)??1?e?x2?2x?1,?x?R，则EX? DX? 解 f(x)?
1?e?x2?2x?1?12??12e(x?1)2122?()21?X~N(1,)
2【练习1】某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X). 答案：EX?
1,pDX?1?p p2?12cosf(x)?设随机变量X的概率密度为?【练习2】
?0复观察４次，用Ｙ表示观察值大于
x20?x??，对X独立地重
其他?的次数，求Y2的数学期望．答案：5 3 38
题型二 复杂随机变量分解为简单随机变量和的情形
如果求X的分布十分困难，可将X分解为X1