第一章 随机事件和概率
知识要点精讲
§1 随机试验和随机事件
1、随机试验
(1)可以在相同条件下重复进行；
(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先能够明确所有的可能结果； (3)试验之前，不能确定哪个结果会出现.
2、样本空间
试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S或?
样本空间和随机试验的关系
3、随机事件
1、随机事件：样本空间的子集
为什么要用样本空间的子集来作为事件的定义？
§2 事件之间的关系与运算
1、事件的五种关系：
包含关系. 相等关系
互不相容(互斥)关系 互逆关系 独立关系
注 事件独立性及其性质。 2、事件的三种运算：
（1）事件的并(和)：
（2）事件的差：A?B?A?AB?AB
（3）事件的交(积)
事件关系的标准记法符号
以上的这些关系和运算，同学们不应停留在集合论的角度，更重要的是要能够从概率论的角度来理解和把握这些关系和运算。这是概率论思维的第一步。 3、事件的运算律
(1)交换律 (2)结合律 (3)分配律 (4)摩根律 注：(1)分配律的记忆方法
(2)推广形式：
1
nnnn分配律: B?[i?1Ai]?i?1(B?Ai)B?[i?1Ai]?i?1(B?Ai)
nnnn摩根律:
i?1Ai?i?1Ai, i?1Ai?i?1Ai
§3 概率的公理化定义和性质
1、 公理化定义
设随机试验为E，样本空间为S，对于E中的每一个事件A，都赋予一个实数P(A)，如果满足下列条件，则称P(A)为事件A的概率：
(1)非负性：0?P(A)?1； (2)归一性：P(?)?1；
????(3)可列可加性：对两两互斥的事件Ai(i?1,2,),有P?Ai???P(Ai)，
?i?1?i?1注：非负性和归一性在随机变量的分布中的体现。
2、概率的性质
有限可加性、减法公式、逆事件概率公式、加法公式 注：各公式的相互推导关系
§4 常见概率模型
1、古典概型
概率计算：A?S的概率为P(A)?N(A) N(?)注意：抓阄模型的各种情况。 2、几何概型
若试验E的样本空间?为有界区域，落在?的子集A上的概率只与A的测度（长度、面积、体积等）有关，而与A的位置和形状无关，则称E为几何概型。
P(A)?A的度量
S的度量注意：有关资料中在定义几何概型中使用“每个基本事件发生的概率相同”，这种说法是不合适的；
（1）度量可以指长度，面积，体积等等，但要保证分子分母度量工具相同。 （2）几何概型的问题可以转化为服从均匀分布的随机变量的问题解决。
2
3、超几何概型
设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(?min{M,n}) 件次品的概率是多少?
kn?kCMCN?M不放回抽样：p? 超几何分布； nCNkCnMk(N?M)n?kMn?kkMk?C()(1?) 二项分布。 有放回抽样：P?nNnNN§5 条件概率与三大概率公式
1、条件概率
条件概率的两种定义（直观含义、公式定义） 注：条件概率的性质都要加上共同条件； 思考：A?B与P(B|A)?1是否等价 ？
2、乘法公式（两个事件、n个事件） 多个事件乘法公式的记忆
在随机变量中的体现（联合分布等于边缘分布乘以条件分布） 3、全概率公式
（1）P(A)??P(Bi)P(ABi)
i?1n（2）公式的本质：由因索果 （3）在随机变量情形下的体现
P(X?xi)??P(Y?yj)P(X?xi|Y?yj)j?1??
fX(x)??4、贝叶斯公式 （1）P(BiA)?????fY(y)fX|Y(x|y)dyP(Bi)P(ABi)?P(B)P(AB)iii?1n (i?1,2,,n)
（2）公式的本质：由果索因，意义——对事物的进一步认识。 （3）在随机变量情形下的体现
f(x)fY|X(y|x)f(x,y)fX|Y(x|y)????X
fY(y)?fX(x)fY|X(y|x)d?? 3
重点题型归纳
题型1 事件的关系和运算
【例1】在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以A表示事件“电炉断电”，而T(1)?T(2)?T(3)?T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件A等于
（A）{T(1)?t0} （C）{T(3)?t0}
（B）{T(2)?t0} （D）{T(4)?t0}
【例2】设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：
（A）A与B不相容
【例3】设A和B是任意两个概率不为0的事件，则(A?B)?(A?B)表示（ ） （A）必然事件 （C）A，B不能同时发生
（B）不可能事件
（D）A，B恰有一个发生
（B）A与B相容。 （D）P（A-B）=P（A）
（C）P（AB）=P（A）P（B）
注：(A?B)?(A?B)?AB?AB，不要错选C，应选D
题型2 概率的性质
【例4】设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）= 0.3 。
【例5】若事件A?B发生，则必有事件C必发生，证明P(C)?P(A)?P(B)?1
11【例6】设事件A,B,C满足条件：P(AB)?P(AC)?P(BC)?，P(ABC)?，
816则A,B,C至多有一个发生的概率为（ ）
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