小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,,两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.
[总结反思] 求相互独立事件同时发生的概率的方法:
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积; (2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
式题 一家医药研究所,从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,
服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为,.现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,则称该组为“甲类组”.求一个试用组为“甲类组”的概率.
探究点三 独立重复试验与二项分布
3 甲、乙两人做定点投篮游戏,已知甲每次投篮命中的概率均为p,乙每次投篮命中的概率
均为,甲投篮3次均未命中的概率为,甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)若甲投篮3次,求至少命中2次的概率;
(2)若甲、乙各投篮2次,设两人命中的总次数为X,求X的分布列和数学期望.
37
[总结反思] 二项分布满足的条件: (1)每次试验中,事件发生的概率是相同的; (2)各次试验中的事件是相互独立的;
(3)每次试验只有两种结果,即事件发生或不发生; (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
式题 某学校设有甲、乙两个实验班,为了了解各班学生的成绩情况,采用分层抽样的方法从甲、乙两班分别抽取8名和6名学生测试他们的数学与英语成绩(单位:分),用(m,n)表示.下面是乙班6名学生的测试成
绩:A(138,130),B(140,132),C(140,130),D(134,140),E(142,134),F(134,132).当学生的数学、英语成绩满足m≥135且n≥130时,该学生定为优秀生. (1)已知甲班共有80名学生,用上述样本估计乙班优秀生的人数;
(2)已知甲、乙两班优秀生的频率相同,以频率作为概率,从甲、乙两班学生中各随机抽取1名,其中优秀生人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
第62讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
课前双击巩固
1.离散型随机变量的均值
(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X P
则称E(X)= 为随机
x1 x2 … xi … xn p1 p2 … pi … pn 变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的 . (2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)= .
38
(3)若X服从两点分布,则E(X)= ; 若X~B(n,p),则E(X)= . 2.离散型随机变量的方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X P
x1 x2 … xi … xn p1 p2 … pi … pn 则 描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)=
为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的 .称D(X)为随机变量X的方差,其 为随机变量X的标准差. (2)D(aX+b)= .
(3)若X服从两点分布,则D(X)= . (4)若X~B(n,p),则D(X)= . 3.正态分布 (1)正态曲线的特点:
①曲线位于x轴 ,与x轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 对称;
③曲线在 处达到峰值;
④曲线与x轴之间的面积为 ;
⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“ ”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“ ”,表示总体的分布越 .
(2)正态分布的三个常用数据:
①P(μ-σ 39 题组一 常识题 1.[教材改编] 已知随机变量X~N(3,σ),若P(X ξ 0 1 0.2 2 0.3 3 0.4 2 P x 则随机变量ξ的方差D(ξ)= . 4.[教材改编] 在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并 独立完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为,且每道题完成与否互不影响.记乙能答对的题数为Y,则Y的数学期望为 . 题组二 常错题 ◆索引:利用正态曲线对称性求值时出错;随机变量取值取错;期望与方差的公式用错. 5.某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,100),已知P(100≤X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人. 6.已知两个随机变量X,Y满足X+2Y=4,且X~N,则E,D依次是 . 7.某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中,取得A等级的概率分别为 ,,,且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记ξ为该学生取得A等级的课程数,则ξ的数学期望E的值为 . 8.已知离散型随机变量X的分布列为 X P 0 1 2 a 40