第九单元 计数原理、概率、随机变量及其分布
第55讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课前双击巩固
基本形式 一般形式 区别 分完成一件事有n类不同方案,在类完成一件事有两类不同方第1类方案中有m1种不同的方加案,在第1类方案中有m种法,在第2类方案中有m2种不同法不同的方法,在第2类方案的方法,…,在第n类方案中有分类加法计数原理与分步乘计中有n种不同的方法,那么mn种不同的方法,那么完成这件法计数原理,都涉及完成一件数完成这件事共有N= 事共有N= 种不事情的不同方法种数.它们的原种不同的方法 区别在于:分类加法计数原理同的方法 理 与分类有关,各种方法相互独分步完成一件事需要两个步乘骤,做第1步有m种不同的法方法,做第2步有n种不同计的方法,那么完成这件事数共有N= 种不同的原方法 理
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知集合M=,N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素分别作为立,用其中的任何一种方法都完成一件事需要n个步骤,做第可以完成这件事;分步乘法计1步有m1种不同的方法,做第2数原理与分步有关,各个步骤步有m2种不同的方法,…,做第相互依存,只有各个步骤都完n步有m种不同的方法,那么完成了,这件事才算完成 n成这件事共有N= 种不同的方法 点的横、纵坐标,可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是 . 2.[教材改编] 6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有 种. 3.[教材改编] 由0,1,2,3,5组成无重复数字的五位数,其中偶数共有 个. 4.[教材改编] 李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同颜色的裙子,另有2套不同样式的连衣裙,现在需选择1套服装参加歌舞演出,则李芳选择服装的不同方法有 种. 题组二 常错题
◆索引:分类、分步时出错或对概念的理解出错.
5.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙2名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为 .
6.在一次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者.三个人互相传递,每人每次只能传一下,由甲开始传,经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有 种.(用数字作答)
7.已知a,b∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则logab的不同取值个数为 .
8.有6 名学生,其中有3 名只会唱歌,2 名只会跳舞,1名既会唱歌又会跳舞.现从中选出2 名会唱歌的学生,1名会跳舞的学生,去参加文艺演出,则所有不同的选法种数为 .
课堂考点探究
探究点一 分类加法计数原理
1 (1)图书馆的书架有三层,第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,则不同的取法共有 ( ) A.120种 B.16种 C.64种 D.39种
(2)如图9-55-1,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地有3条路,从甲地到丙地有4条路,从丙地到丁地有2条路,则从甲地到丁地不同的路有 ( )
图9-55-1
A.11条 B.14条 C.16条 D.48条
[总结反思] 解答此类问题的关键是充分理解题意,理解分类计数原理:
(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类,即分类的标准是“不重不漏,一步完成”;
(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法,即步与步之间的方法“相互独立,分步完成”.
式题 (1)[2017·辽宁重点高中期末] 甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼,每层楼最多下2人,则下电梯的方法有 ( ) A.210种 B.84种
2
C.343种 D.336种
(2)[2017·东北三省三校模拟] 在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌,广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求相邻两块广告牌的底色不都为蓝色,则不同的配色方案共有( ) A.20种 B.21种 C.22种 D.24种
探究点二 分步乘法计数原理
2 (1)[2017·淮北一中检测] 甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案的种数为 ( ) A.5 B.24 C.32
D.64
(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏3种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有 种.
[总结反思] 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,以元素(或位置)为主体的计数问题,通常先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置);(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定. 式题 (1)[2017·杭州萧山一中月考] 有六种不同颜色,给如图9-55-2所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有 ( ) A.4320种 C.1440种
B.2880种 D.720种
图9-55-2
(2)某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若每班只安排1人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是 ( ) A.24 C.48
B.32 D.84
探究点三 两个计数原理的综合
3
3 (1)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排2位大人,另外,2个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为( ) A.144 B.124 C.72
D.36
(2)如图9-55-3,一个地区分为五个行政区域,现给该地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(用数字作答)
图9-55-3
[总结反思] (1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,但也有几种常用方法: 按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,适用于区域、点、线段等问题,用分类加法计数原理分析; 将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.
(2)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类;分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,只有完成每一步,整件事才算完成.若综合利用两个计数原理,一般先分类再分步.
式题 (1)若自然数n作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如,32是“开心数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为 ( ) A.9 B.10 C.11
D.12
(2)“五一”黄金周将至,小明一家五口决定外出游玩,购买的车票分布如图9-55-4.
图9-55-4
若爷爷喜欢走动,需要坐靠近走廊的位置,妈妈需要照顾妹妹,两人必须坐在一起,则座位的安排方式一共有 种.
第56讲 排列与组合
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