沈阳理工大学学士学位论文
1 绪 论
1.1组合数学的研究背景和意义
现代数学可以分为两大类:一类是研究连续对象的,如分析、方程等,另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位,在其它的学科中也有重要的应用,如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑,就是因为计算机被人编写了程序,而程序就是算法,在绝大多数情况下,计算机的算法是针对离散的对象,而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到,计算机好像是有思维的。
组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值,在企业管理,交通规划,战争指挥,金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司,他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益,这家公司办得非常成功。此外,试验设计也是具有很大应用价值的学科,它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题,在美国已有专门的公司开发这方面的软件。
1.2国内外研究现状
组合数学在国外早已成为十分重要的学科,甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司,如IBM,AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如,Bell实验室的有关线性规划算法的实现,以及有关计算机网络的算法,由于有明显的商业价值,显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势,就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展,世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS(与Princeton大学,Rutgers大学,AT&T 联合创办的,设在Rutgers大学),该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所(Mathematical Sciences Research Institute,由陈省身先生创立)在1997年选择了组合数学作为研究专题,组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心,理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题,该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。美国重要的国家实际室(Los Alamos国家实验室,以造出第一颗原子弹著称于世),从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究,
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包括组合数学的研究。不仅如此,该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构,主要从事组合编码理论和密码学的研究,在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。
由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系,各国对生物信息学的研究都很重视,这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构,美国科学院院士,近代组合数学的奠基人Rota教授预言,生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。
传统的计算机算法可以分为两大类,一类是组合算法,一类是数值算法(包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学)。近年来计算机算法又多了一类:那就是符号计算算法。吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算,引起了国际上的高度评价,被称为吴方法。而国际上还有专门的符号计算杂志。符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。组合数学,数值计算(包括计算数学,科学计算,非线性科学,和与处理各种信息数据有关的信息学)和统计学可能是应用最广的数学分支,而组合数学的价值甚至不亚于统计学和数值计算。由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性,把数学机械化,科学计算和组合数学组合起来,就可以说是中国信息产业的基础。组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果,获得1998年