【分析】(1)中易证BD⊥PA，要借助AB=BC与∠ABC=120°说明BD⊥AC，即位
PG置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求GC的值，即先分别求得PG，GC的值，
这要借助勾股关系与方程思想.
【解答】(1)由已知得△ABC是等腰三角形，且底角等于30°.由AB=BC，AD=CD，BD=DB，得△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD=60°，且∠BAC=30°，所以BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA. 又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
22PA?AC(2)由已知得PC==3?12=15，
因为PC⊥平面BGD，GD?平面BGD，所以PC⊥GD. 在△PDC中，PD=设PG=x，则CG=3?7=10，CD=7，PC=15， 15-x，
所以PD2-PG2=CD2-CG2， 即10-x2=7-(15-x)2，
315215所以PG=x=5，CG=5，
PG3所以GC=2.
【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外，借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当的了解和关注.数量运算主要还是体现在垂直上，即有勾股关系的适当介入.
变式 (2015·广东卷)如图，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂
直，且PD=PC=4，AB=6，BC=3.
(1)求证：BC∥平面PDA；
(2)求证：BC⊥PD； (3)求点C到平面PDA的距离.
(变式)
【解答】(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD. 因为BC?平面PDA，AD?平面PDA， 所以BC∥平面PDA.
(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD.
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面PDC.
因为PD?平面PDC，所以BC⊥PD. (3)取CD的中点E，连接AE和PE， 因为PD=PC，所以PE⊥CD.
22224-3=7.因为平面PDC⊥平面ABCD，平PD-DE在Rt△PED中，PE==面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.
由(2)知，BC⊥平面PDC，由(1)知，BC∥AD， 所以AD⊥平面PDC.
因为PD?平面PDC，所以AD⊥PD. 设点C到平面PDA的距离为h， 因为
V三棱锥CPDAV三棱锥PACD=
，
11所以3S△PDA·h=3S△ACD·PE，
1?3?6?72SACD·PE371?3?4即h=SPDA=2=2，
37所以点C到平面PDA的距离是2.
【课堂评价】
1.若α，β是两个相交平面，直线m?α，则在平面β内， 与直线m垂直的直线.(填写“存在”或“不存在”) 【答案】存在
【解析】若m与两个平面的交线平行或m为交线，显然存在；若m与交线相交，设交点为A，在直线m上任取一点B(异于点A)，过点B向平面β引垂线，垂足为C，则直线BC⊥平面β，在平面β内作直线l垂直于AC，可以证明l⊥平面ABC，则l⊥m.
2.(2016·全国卷Ⅱ)已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题是 .(填序号) 【答案】②③④
【解析】对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故①错误；对于②，因为n∥α，所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c，因为
m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.
3.(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点. (1)求证：PB∥平面MNC；
(2)若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC.
(第3题)
【解答】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB. 因为MN?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC. (2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因为AC=BC，AM=BM，所以CM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM?平面ABC，所以CM⊥平面PAB.
因为PA?平面PAB，所以CM⊥PA.
因为PA⊥MN，MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM=M， 所以PA⊥平面MNC.
4.(2016·镇江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点. (1)求证：AM∥平面PBC； (2)求证：CD⊥AP.