的指数函数的密度函数为f(x)???2e?2x证明：提示：参数为2x?0?0x?0 ， ?利用Y?1?e?2x的反函数x????12ln(1?y)即可证得。
??03.设X~N（0，1）.
（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0
当y>0时，FxY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)
??lny??fX(x)dx
故 fY(y)?dFY(y)dy?1yf(lny)?11y2πe?ln2y/2x,y?0 (2) P(Y?0)?1
当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0
当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ??y?yfX(x)dx
故fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y) ?22πe?y2/2,y?0 4.设随机变量X~U（0,1），试求：Z= ?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】 由P（0 P(Z?0)?1 当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0 当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z) ?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1e?z/2dx?1?e?z/2 即分布函数 17 z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?0故Z的密度函数为 ?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2 ?z?0?0, 5.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 （1） 求V=max（X，Y）的分布律； （2） 求U=min（X，Y）的分布律； 【解】 （1）P{V?i}?P{max(X,Y)?i}P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i} ??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, i?0,1,2,3, 4,k?0k?0i?1i所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P (2) P{U?i}?P{min(X,Y)?i} 0 1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i} ??P{X?i,Y?k}?k?i3k?i?1?5P{X?k,Y?i} i?0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P 0 0.28 1 0.30 2 0.25 3 0.17 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ?e?y,?1,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?其他;?0,?0,求随机变量Z=X+Y的分布密度. y?0, 其他.18 解 X，Y相互独立，所以由卷积公式知 fZ（z）= ?????fX(x)fY(z?x)dx.. 由题设可知fX（x）fY（y）只有当0≤x≤1，y＞0，即当0≤x≤1且z-x＞0时才不等于零.现在所求的积分变量为x，z当作参数，当积分变量满足x的不等式组0≤x≤1 x＜z时，被积函数fX（x）fY（z-x）≠0.下面针对参数z的不同取值范围来计算积分. 当z＜0时，上述不等式组无解，故fX（x）fY（z-x）=0.当0≤z≤1时，不等式组的解为0≤x≤z.当z＞1时，不等式组的解为0≤x≤1.所以 ?ze?(z?x)dx?1?e?z,0?z?1,??0?1fZ（z）=??e?(z?x)dx?e?z(e?1),z?1,， 0?其他.?0,?7.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?12y2,0?y?x?1 f(x,y)?? 其它(x,y)?0,求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)；（2）随机变量Y的密度函数fY(y)；（3）随机变量Z?X?Y的密度函数fZ(z). X,解： 由题意 Y的概率密度函数分别为 ?x12y2dy?4x3,0?x?1??fX (x)??0?? ??0?0，x?1,x?0 ? 122???12y(1?y),0?y?112ydx ?y?fY(y)???? ?0,y?1,y?0?0?? ?f(z)?f( x, z?由两个随机变量和的密度函数公式 Z ? x )dx ，要使被积函数非０，?x ,z 必 0?,x ? z ? 2x须满足 x ? 1 故 的密度函数应为 ???00,z?0,z?2? ?z?z3?? 2fZ(z)??z12(z?x)dx??,0?z?1 2?2?312?z12(z?x)dx?z?4((z?1)3,1?z?2 ???2?2 ??z???8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为??0的泊松(Poisson)分布，证明X?Y仍服从泊松分布，参数为2?. 19 证明：记Z?X?Y，则Z所有可能的取值为：0,1,2,由离散卷积公式有 ,n,， P(Z?k)??P(X?i)P(Y?k?i) i?0k??i?0k?ii!e???k?i(k?i)!ke????ke?2?k! ?k!i?0i!(k?i)!k??ke?2?(2?)ke?2?2?k!k!k?0,1,,n, 即Z?X?Y服从参数为2?的泊松分布. 9.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从 同一分布，其概率密度为 ?1000?,x?1000,f（x）=?x2 ?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度. 【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)?0 （2） 当0 X?z} YFZ(z)???y?xz1000）(如图a) z6??yz10106dxdy??103dy?322dx 10xyx2y2z?103106?z =?103?2?3?dy? zy?2z?y?? 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） FZ(z)???y?xz6??zy10106dxdy??3dy?322dx 1010xyx2y2 20