习 题 一
1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件： （1） A发生而B与C都不发生； （2） A，B，C至少有一个事件发生； （3） A，B，C至少有两个事件发生； （4） A，B，C恰好有两个事件发生； （5） A，B至少有一个发生而C不发生； （6） A，B，C都不发生. 解：（1）ABC或A?B?C或A?（B∪C）. （2）A∪B∪C. （3）（AB）∪（AC）∪（BC）. （4）（ABC）∪（ACB）∪（BCA）. （5）（A∪B）C. （6）A?B?C或ABC.
2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式： （1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?； （2）AB+AB +AB+AB?AB= AB；
（3）A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.
3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求： （1） A发生但B不发生的概率； （2） A，B都不发生的概率；
（3） 至少有一个事件不发生的概率.
解（1） P（AB）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4； (2) P(AB)=P(A?B)=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3； (3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.
4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.
1
解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72
5.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。 解：8/15
6.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。
（1）3本一套放在一起； （2）两套各自放在一起；
（3）两套中至少有一套放在一起.
解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21
7. 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：
（1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.
解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为
444C12C8C4?12! 3(4!)（1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”
3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有
9!种分法，由乘法原理，A包含基本事件数为 (3!)33！·
9!9!= 32(3!)(3!)故有
P（A）=
9!12!/=16/55 (3!)2(4!)3（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为C9C8C4?
故有 P（B）=
1449!9!，故由乘法原理，B包含样本总数为3·.1!4!4!1!4!4!3·9!12!2/3=3/55 ?4！??4！?
8.箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只.
（1） 任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤b）; (2) 第k次才取到白球的概率（k≤b+1）; （3） 第k次恰取到白球的概率.
解 （1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合问题.从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有Ca?b种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有Ca种不同的取法，从b只黑球中取n只，
mm?n 2
nmn共有Cb种不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取法共有CaCb种，于是
所求概率为
nCmaCbp1=m?n.
Ca?b(2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有Pa?b个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑球中任取k-1只的排法种数，有Pbk?1k种，第k次抽取的白球可为a只白球中任一只，有Pa种不同的取
1k?11法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有PbPa种，于是所求概率
为
1Pbk?1Pap2=k.
Pa?b1(3) 基本事件总数仍为Pa?b.第k次必取到白球，可为a只白球中任一只，有Pa种不同
k的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有Pa?b?1种不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到白球的取法有PaPa?b?11k?1k?1
Pa1Pak??b1?1ap3=. ?Pak?ba?b
9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.
解 设在（0，1）内任取两个数为x,y，则
0＜x＜1,0＜y＜1
图1-7
即样本空间是由点（x，y）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.
令A表示“两个数乘积小于1/4”，则
A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}
事件A所围成的区域见图1-7，则所求概率
3
P(A) =
1??dx?1/4111/4xdy1?1??(1?1/411)dx311114x?1???dx??ln2.
141/44x42
10.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率. 解 设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x-y｜≤20，即
x-y≤20且y-x≤20.
令事件A表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A.则
m(A)602?4025??. P(A) =
m(?)6029
11.一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.
解 设A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件 由条件得
P（A）=(3×4)/(5×4)= 3/5， P(AB)= (3×2)/(5×4)= 3/10，
故有 P（B｜A）=P（AB）/P（A）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.
此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得
P（B｜A）=2/4=1/2. 12.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B). 解 P(BAB)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51?
0.7?0.6?0.54 ?
13.设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.
解 设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，Ri (i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有
P(R1R2R3R4)?P(R1)P(R2R1)P(R3R1R2)P(R4R1R2R3) mm?knn?k????.m?nm?n?km?n?2km?n?3k 4