学习必备 欢迎下载 ∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9， 解得：y≈0.082=8.2%． 答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%． 2．（（2014?新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
解答： 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 3.(2014年广东汕尾）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=； 方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣． （2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
4.（2014?毕节地区）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式； （2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次． 解答： 解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件． ∴第x档次，提高的档次是x﹣1档． ∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]， 学习必备 欢迎下载 即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）； （2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120 整理得：x2﹣18x+72=0 解得：x1=6，x2=12（舍去）． 答：该产品的质量档次为第6档． 5.（2014?襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ．
解答： 解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根， ∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②， ①+②，得2（a2﹣5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为5． 6. （2014?株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 学习必备 欢迎下载 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 7. （2014年江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2 万元．
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：列一元二次方程解实际问题的运用%]
解答：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2； （2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146， 解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
8. （2014?扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值． 解答： 解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0， 整理得，k2﹣3k+2=0， 即（k﹣1）（k﹣2）=0， 解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2． ∴k=2． 9. （2014年江苏南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ （1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0， ∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的 顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
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一元二次方程及其应用
选择题
1. （2014?海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ） 100（1+x）2=81 A．B． 100（1﹣x）2=81 C． 100（1﹣x%）2=81 D． 100x2=81 解答： 解：设两次降价的百分率均是x，由题意得： 2x满足方程为100（1﹣x）=81． 故选B． 2．（2014?宁夏，第3题3分）一元二次方程x﹣2x﹣1=0的解是（ ） x1=x2=1 A．B． x1=1+，x2=﹣1﹣ C． x1=1+，x2=1﹣解答： 解：方程x﹣2x﹣1=0，变形得：x﹣2x=1， 22配方得：x﹣2x+1=2，即（x﹣1）=2， 开方得：x﹣1=±， 解得：x1=1+，x2=1﹣． 故选C． 3．(2014?陕西)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x﹣ax+a=0的一个根，则a的值为（ ） A．1或4
B． ﹣1或﹣4
C． ﹣1或4
2
2
2
2
222 D． x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣D． 1或﹣4
解答： 解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x﹣ax+a=0的一个根， ∴4+5a+a=0，
∴（a+1）（a+4）=0， 解得a1=﹣1，a2=﹣4， 故选B
4．（2014?湖北黄冈,第6题3分）若α、β是一元二次方程x+2x﹣6=0的两根，则α+β=（ ） ﹣8 A．B． 32 C． 16 D． 40 2
2
2
2
解答： 解：根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6， 所以α+β=（α+β）﹣2αβ=（﹣2）﹣2×（﹣6）=16． 故选C． 5. （2014?湖北荆门）已知α是一元二次方程x﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ） A． 0＜α＜1 B． 1＜α＜1.5 C． 1.5＜α＜2 D． 2＜α＜3 解答： 解：解方程x﹣x﹣1=0得：x=∵a是方程x﹣x﹣1=0较大的根， ∴a=
，
2
2
22222，
∵2＜＜3， ∴3＜1+＜4， ∴＜
＜2，
故选C． 6．（2014?攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） α+β=﹣1 A．B． αβ=﹣1 C． α2+β2=3 D． +=﹣1