静安区2013-2014学年高三年级第一学期期末数学理试卷
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.1
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A?{(x,y)x?y?1?0}，B?{(x,y)y?x?1}，则A?B=______ 2．已知cos???212??，??(,?)，则tan(??)的值是______ 13243．当x?0时，函数y?(a?8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是_______
4．关于未知数x的实系数一元二次方程x2?bx?c?0的一个根是1?3i（其中i为虚数单位），写出
一个一元二次方程为______
5．某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 ______ 种. （结果用数值表示） 6．不等式x?3?2x?1的解集是______
7．已知向量a?(1,1),b?(2,x),若向量a?b与?2a?4b平行,则实数x的值是_______. 8．已知方程sin2??cos2??1，则当??(??,?)时，用列举法表示方程的解的集合是______ 9．如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为
?A?OB30，且O??2，OC?43，若OC??OA?O?B（?、??R），则???的值为______
10．设某抛物线y2?mx的准线与直线x?1之间的距离为3，则该抛物线的方程为______ 11．已知cos(?4?x)?a，且0?x??4， 则
cos2xcos(?x)4?的值用a表示为______
x2y2??1，过椭圆C上一点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别12．已知椭圆C:24交椭圆C于A、B两点。则直线AB的斜率为______
13．若圆M:(x?a)2?(y?b)2?6与圆N:(x?1)2?(y?1)2?5的两个交点始终为圆
N:(x?1)2?(y?1)2?5的直径两个端点，则动点M(a,b)的轨迹方程为______
14．已知不等式a?
32x?3x?4?b的解集为[a,b]，则b=______，且a?b的值为______ 4二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15．“m?1”是“直线(m?2)x?3my?1?0与直线(m?2)x?(m?2)y?3?0互相垂直”的（ ） 2A．充要条件 B．充分不必要条件； C．必要不充分条件； D．既不充分也不必要条件. 16．已知命题?：如果x?3，那么x?5；命题?：如果x?3，那么x?5；命题?：如果x?5，那么x?3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是（ ） ①命题?是命题?的否命题，且命题?是命题?的逆命题 ②命题?是命题?的逆命题，且命题?是命题?的否命题. ③命题?是命题?的否命题，且命题?是命题?的逆否命题. A．①③； B．②； C．②③ D．①②③
17．已知函数f(x)??x2?4x，x?[m,5]的值域是[?5,4]，则实数m的取值范围是（ ） A．(??,?1) B．(?1,2] C．[?1,2] D．[2,5)
18．已知函数f(x)是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数，当0?x?1时，f(x)?x2。若直线y?x?a与函数y?f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．?1111或? B．0 C．0或? D．0或? 4224
三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤。 19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=
12（弦′矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦22?，弦长等于9米的3长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为
弧田.
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）
20．（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2?y2与x2?xy的大小；
1112(a3?b3?c3)?3 （2）设a，b，c为正数，且a?b?c?1，求证：2?2?2?abcabc222
21．已知双曲线x2?y2?a2（其中a?0）
（1）若定点A(4,0)到双曲线上的点的最近距离为5，求a的值；
（2）若果双曲线的左焦点F1，作倾斜角为?的直线l交双曲线于M、N两点，其中??(?3?4,4)，
F2是双曲线的右焦点。求F2MN的面积S。
22．设无穷数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn（n?N*），且点(Sn?1,Sn)(n?N*,n?2)在直线(2t?3)x?3ty?3t?0上（t为与n无关的正实数） （1）求证：数列{an}(n?N*)为等比数列；
（2）记数列{an}的公比为f(t)，数列{bn}满足b1?1，bn?f(1)(n?N*,n?2)，设bn?1cn?b{cn}的前n项和Tn； 2n?1b2n?b2nb?2n，求数列1（3）若（1）中无穷等比数列{an}(n?N*)的各项和存在，记S(t)?a1?a2??·，求函数S(t)·?an?···的值域。
23．已知函数f(x)?logax?1（其中a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数 x?1（1）已知关于x的方程logam?f(x)在区间[2,6]上有实数解，求实数m的取值范围；
(x?1)(7?x)（2）当0?a?1时，讨论函数f(x)的奇偶性和增减性；
（3）设a?1，其中p?1。记bn?g(n)，数列{bn}的前n项的和为Tn（n?N*） 1?p求证：n?Tn?n?4
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2013-2014学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准
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12；
10．或
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12．
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14．
4；
15． B ； 16．A． 17． C 18．D
19解：(1) 扇形半径，……………………… 2分
扇形面积等于……………………… 5分
弧田面积=（m2
）……………………… 7分
（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得
（弦?矢+矢2
）=
.………………………10分
平方米……………………… 12分