由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
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因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即
．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或
．
x22
1．(2017·全国卷Ⅱ)设点O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，
2→→
点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. →→
(1)解：设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)， →→
2
由NP＝2NM得x0＝x，y0＝y，
2x2y2
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
22因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
3x2y2?=12b2（a>b>0）2.【2017课标1，理20】已知椭圆C：a，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，2），
3P4（1，2）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
x2?y2?1【答案】（1）4.（2）见解析。
【解析】（1）由于
P3， P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3， P4两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
{a2?4因此
，解得b2?1 .
x2?y2?1故C的方程为4.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t?0，且t?2，可得A，B的坐标分别为（t，4?t2?2）.
则
，得t?2，不符合题设.
x2?y2?1从而可设l： y?kx?m（m?1）.将y?kx?m代入4得
由题设可知
.
?8km4m2?4设A（x，yx2211），B（2，y2），则x1+x2=4k?1，x1x2=4k?1.
4?t22），（t，
而
.
由题设
k1?k2??1，故
.
即.
k??解得
m?12.
当且仅当m??1时， ??0，欲使l：所以l过定点（2， ?1）
，即，
x2?y2?13.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2上，过M作x轴的垂线，垂足为N，
点P满足
。
(1) 求点P的轨迹方程；
uuuruuur(2)设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
22x?y?2。(2)证明略。 【答案】(1)
【解析】（1）设P（x，y），M（）,则N（），
由得.
因为M（）在C上，所以
.
.
因此点P的轨迹为
由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
.
由3+3m-tn=0. 所以左焦点F.
x2y224.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1?a?b?0?的离心率为，焦距为
ab22.
得-3m-+tn-=1， 又由（1）知，故
，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的
（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：y?k1x?k1k2?3交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且22，M是线段OC延长线上一点，且4，eM的半径为MC，OS,OT是eM的两条
切线，切点分别为S,T.求?SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.
x2【答案】（I）?y2?1.
2（Ⅱ）?SOT的最大值为【解析】
（I）由题意知 e?所以
?3，取得最大值时直线l的斜率为k1??2. 2c2， 2c?2， ?a2，