(2)证明：设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，N(x0，y0)， DA⊥AM，所以D(2，4k).
xy??4＋2＝1，由?整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0. ??y＝k（x＋2）8k2－42－4k2则－2x0＝，即x0＝，
1＋2k21＋2k2
2－4k24k?4k?，所以y0＝k(x0＋2)＝，则N??， 22
1＋2k?1＋2k1＋2k2?
2
2
设G(t，0)，则t≠－2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DG⊥AN， →→
所以GD·AN＝0恒成立． →
因为GD＝(2－t，4k)， →－8k24k??，AN＝??，
?1＋2k21＋2k2?
→→
－8k24k
所以GD·AN＝(2－t)·＋4k·＝0恒成立， 2
1＋2k1＋2k28k2t
即＝0恒成立，所以t＝0， 1＋2k2
所以点G是定点(0，0)． 【方法规律】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
[来源:]→→→
【变式探究】已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点P在x轴上的投影是Q，且2PA·PB＝|PQ|2. (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．
(1)解：设点P坐标为(x，y)，所以点Q的坐标为(x，0)． →→→因为2PA·PB＝|PQ|2，
所以2[(－2－x)(2－x)＋y2]＝y2， x2y2
化简得点P的轨迹方程为＋＝1.
42
1
(2)证明：当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：y＝k(x－1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：y＝－(x－
k1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
xy??4＋2＝1，联立?消去y得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
??y＝k（x－1），则Δ＞0恒成立．
2k2－44k2
所以x1＋x2＝2，且x1x2＝2.
2k＋12k＋1－k?2k2?所以GH中点E1坐标为?2，2?，
?2k＋12k＋1?2k??，同理，MN中点E2坐标为k2＋2k2＋2， ??
[来源:]22
－3k
所以kE1E2＝，
2（k2－1）
－3k?2??2，0?， x－所以lE1E2的方程为y＝，所以过点?3?2（k2－1）?3?2?
当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y＝0，也过点??3，0?， 2?综上所述，lE1E2过定点??3，0?.
高频考点三 圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．
(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．
x2y22
例3、 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A?1，?在椭圆C
ab2??上．
(1)求椭圆C的标准方程；
5
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点3→→
P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， 因为A?1，
?
2?在椭圆C上， 2?所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝22，则a＝2，b2＝a2－c2＝1， x22
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t， 5
x3，?，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P?3??y＝2x＋t，??
由?x22消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0， ??2＋y＝12t
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，
9y1＋y2t
故y0＝＝，且－3＜t＜3.
29→→5
x1－x3，y1－?＝(x4－x2，y4－y2)， 由PM＝NQ得?3??5525
所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.
3393
→→
也可由PM＝NQ知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，5＋y34t2t－15
所以y0＝＝，可得y4＝. 2997
又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，
3
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线． 【方法规律】
1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
3x2y21
1，?，F为其右焦点． 【变式探究】已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P??2?ab2(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由． c1
解：(1)因为＝，所以a＝2c，b＝3c.
a2x2y2
设椭圆方程2＋2＝1，
4c3c
313
1，?在椭圆上，所以2＋2＝1，解得c2＝1. 又点P??2?4c4cx2y2
所以椭圆方程为＋＝1.
43
(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－4)， y＝k（x－4），??
由?x2y2消去y，
＋＝1??43得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
由题意知Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0， 11解得－＜k＜.
22
设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 32k2
则x1＋x2＝，①
3＋4k264k2－12x1x2＝.②
3＋4k2
因为△AMF 与△MFN的面积相等，