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货物。
例4 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架书的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？ ［思路导航］
甲书架借出三分之一后，还剩下600÷3×2＝400（本）。这时，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本，说明乙书架还有（400－150）÷2＝125（本）。乙书架借出四分之三后剩下125本，原来有125×4＝500（本）。
解： 600÷3×2＝400（本）
（400－150）÷2×4＝500（本） 答：乙书架原来有书500本。
例5 师徒二人一起加工一种零件。徒弟已经加工了480个零件，师傅已经加工了900个零件，现在如果徒弟每天加工30个，师傅每天加工80个，几天后师傅的零件个数是徒弟的2倍？ ［思路导航］
由于已经加工的零件中，师傅比徒弟加工零件的2倍少（480×2－900）个，而现在师傅每天加工零件比徒弟的2倍要多（80－30×2）个，用它去弥补前面的不足，于是可求出所需天数。
解： （480×2－900）÷（80－30×2）＝3（天） 答：3天后师傅的零件个数是徒弟的2倍。
［思路导航］
1、甲仓库存粮32吨，乙仓库存粮57吨，甲仓库每天存入4吨，乙仓库每天存入9吨，几天后乙仓库存粮是甲仓的2倍？
2、甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙的2倍？
3、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？
4、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉310只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？
5、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱，三堆货物各多少箱？
6、甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少？
7、把840本书放在书架的三层里，下层数的本数比上层的3倍多5本，中层数的本数是上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？
8、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？
9、食堂存有同样重量的大米和面粉，吃掉大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的面粉的重量是大米的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克？
10、有两堆水泥，甲堆有12吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？
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11、A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？
12、甲仓库有大米650袋，乙仓库有大米400袋。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少天后甲仓的大米袋数是乙仓的6倍？
13、有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯中各倒进8毫升水，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？
14、甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。
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第六讲 客斥原理
［知识要点］
集合是指有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看做一个集合。0、1、2、3、4、5、6、7、8、9使组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素。即C＝A＋B－A。
客斥原理又称包含与排除，在解这类问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就是为得很直观，很楚，因而容易进行计算。
［范例解析］
例1 文风小学五年级一班的同学都到学校图书馆借科技书和故事书。有45人借了科技书，有35人借了故事书，其中有30人既借了科技书又借了故事书。这个班共有学生多少人？
［思路导航］
两种书都借的人数在求总人数时被计算了两次。所以再把既借了科技书又借了故事书的人数去掉，就得到了五（一）班的学生总人数。
解： 45＋35－30＝50（人）
答：这个班共有学生50人。
注：想一想，还有其他方法解答吗？
例2 有两个正方形，一个边长是4厘米，一个边长是6厘米。把它们按图放置。中间重叠的部分是一个边长2厘米的小正方形。被这两个正方形盖住的面积是多少？ ［思路导航］
要求这个组合图形的面积，就要先求出这三个正方形的面积。边长4厘米的正方形的面积是（4×4＝16）平方厘米，边长6厘米的正方形的面积是（6×6＝36）平方厘米，边长2厘米的正方形的面积是（2×2＝4）平方厘米。重叠的部分在大正方形中被计算了一次，在小正方形中又被计算了一次。所以，被这两个正方形盖住的面积是（16＋36－4）平方厘米。
解： 4×4＋6×6－2×2＝16＋36－4＝48（平方厘米） 答：被这两个正方形盖住的面积是48平方厘米。
例3 五年级一班有46人，其中有12人没有参加语文竞赛和数学竞赛。参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有18人。现参加语文竞赛又参加数学竞赛的有多少人？ ［思路导航］
如图所示，图中的方木框代表全班46人，方框中的空白部分代表没有参赛的12人，阴影部分就是代表参赛的学生人数。第一步求出有多少人参赛。然后再把参加语文竞赛的20人与参加数学竞赛的18人相加，减去参赛人数，就得到既参加语文竞赛又参加数学竞赛的人数。
解： 46－12＝34（人）
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20＋18－34＝4（人）
答：既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有4人。
例4 学校开展课外活动，共有250人参加，其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？ ［思路导航］
两个小组都参加有25人，因此，至少参加这两种小组中的一个小组的人数是83＋86－25＝144（人），所以，这两个组都不参加的人数是250－144＝106（人）
解： 250－（83＋86－25） ＝250－144 ＝106（人）
答：象棋组、乒乓球组都不参加的有106人。
例5 实验小学各年级都参加的一项书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？ ［思路导航］
由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的。由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其他年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其他年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是（16＋20－20）÷2＝4（人），该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20＝24（人）
解： （16＋12－20）÷2＋20＝24（人） 答：书法比赛获奖的总人数是24人。
［知识要点］
1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育运动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、一张纸片面积是10平方厘米，一个正方形纸片面积是16平方厘米，两张纸片重叠一部分放在桌面上，覆盖部分的面积是18平方厘米。两张纸片重叠部分的面积是多少平方厘米？
4、小明站在一列队伍中，从左向右报数，小明报“21”；从右往左报数，小明报18，这列队伍一共有多少人？
5、五年级二班有学生50人，有些学生学骑车，有些学生学游泳。已知有35人学骑车，两样都学的有15人，一样也不学的有2人。学游泳的有几人？
6、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
7、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？
8、有100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？
9、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
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