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第四讲 倍数问题（一）
［知识要点］
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数作为标准数，即1倍数），再根据其他几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数）。
［范例解析］
例1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？ ［思路导航］
第一根： 第二根：
图中虚线部分表示剪去的部分。由于第二根比第一根多剪去26－18＝8（厘米），所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因比8÷（3－1）＝4（厘米），就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26＝30（厘米）。
解： （26－18）÷（3－1）＝4（厘米） 4＋26＝30（厘米）
答：原来两根铁丝各长30厘米。
例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲的图书是乙组的5倍，原来甲组有图书多少本？ ［思路导航］
甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）＝12（本），乙组原来有12＋6＝18（本），甲组原来有18×3＝54（本）。
解： （6×3＋6）÷（5－3）＝12（本） （12＋6）×3＝54（本） 答：原来甲组有图书54本。
例3 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？ ［思路导航］
因为苹果的个数是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果3×2＝6（个），两种水果最后一起分完。可实际每组分4个苹果，少分6－4＝2（个），16里面有8个2，所以有8组同学，因此，苹果有8×4＋16＝48（个），梨有8×3＝24（个）。
解： 16÷（3×2－4）＝8（组） 8×4＋16＝48（个） 8×3＝24（个）
答：苹果有48个，梨有24个。
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例4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？ ［思路导航］
根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×2＝16（个）桔子。如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2＝42（个）。因此，乙筐里还42÷（2－1）＝42（个），原来乙筐里有42＋13＝55（个），甲筐里有55＋16＝71（个）。
解： （8×2＋13×2）÷（2－1）＝42（个） 42＋13＝55（个） 55＋8×2＝71（个）
答：原来甲筐有71个，乙筐有55个桔子。
例5 养鸡场买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。买来母鸡、公鸡各多少只？ ［思路导航］
题中已知母鸡只数和公鸡只数一共100只，就可推出，母鸡只数的4倍速和公鸡只数的4倍 的和100×4＝400（只），又因为母鸡只数的4倍 比公鸡比公鸡只数的3倍 多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍 ，则公鸡只数为280÷（4＋3）＝40（只），母鸡只数为100－40＝60（只）。
解： （100×4－120）÷（4＋3）＝40（只） 100－40＝60（只）
答：母鸡有60只，公鸡有40只。
［习题精选］
1、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如是把这上0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？
2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍，原来两筐水果一共有多少个？
3、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了5张，这样，小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？
4、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？
5、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？
6、同学们带着水是去看敬老院的6人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还多14个。问同学们把苹果发给了几位老人？
7、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨？
8、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。参加植树的一共有多少人？
9、甲、乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓库取14吨入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍，原来两仓各存货物多少吨？
10、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女人数同样多；
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如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、生各多少人？
11、有两块地共80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。这两块地各有多少公顷？
12、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个，排球和篮球各有多少个？
13、甲、乙两人共存款550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？
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第五讲 倍数问题（二）
［知识要点］
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其他几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧、灵活解题。
和倍问题的数量关系是： 和数÷（倍数＋1）＝较小数 较小数×倍数＝较大数 差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍数－1）＝较小数 较小数×倍数＝较大数
［范例解析］
例1 有两堆水果糖，第一堆有82颗，第二堆有46颗，从第一堆拿多少颗水果糖到第二堆，就能使第二堆水果糖是第一堆的3倍？ ［思路导航］
两堆水果糖共有（82＋46）颗，为了要使第二堆水果糖是第一堆的3倍，就要把总颗数分成（3＋1）份，即可求出每份水果，也就是第一堆的现在的个数，其余的都被拿到第二堆去了，进而可求拿走了多少颗。
解： （82＋46）÷（3＋1）＝32（颗） 82－32＝50（颗）
答：从第一堆拿50颗到第二堆，才能使第二堆水果糖是第一堆的3倍。
例2 养鸡场的母鸡的只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，母鸡增加60×6＝360（只），那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡的只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数是300÷2＝150（只），原来有公鸡150－60＝90（只），一共养了90×（1＋6）＝630（只）鸡。
解： （60×6－60）÷（6－4）＝150（只） （150－60）×（1＋6）＝630（只） 答：原来养鸡场一共养了630只鸡。
例3 有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。乙知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？ ［思路导航］
甲车： 乙车： 丙车：
从图中中以看出：如果丙车多装200千克，就知乙车装的货物同样多，这样，三辆车装的总重量就是1800＋200＝2000（千克）。再把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装货是500千克，甲车上装500×2＝1000（千克），丙车上装有500－200＝300（千克）。
解： （1800＋200）÷（1＋1＋2）＝500（千克） 500×2＝1000（千克） 500－200＝300（千克）
答：甲车上装有1000千克货物，乙车上装500千克货物，丙车上装300千克
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