相似三角形
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
分析： （1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF． （2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．
点评： 本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理： （1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； 5
（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
分析： （1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系； （2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在． 解答： （1）设经过x秒后，（6﹣2x）x=×3×6，得x1=1，x2=2， （2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似， 由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°， 因此有即或①，或 ② 解①，得t=；解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意 12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
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分析： 欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？
分析： 要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间． 解答： 解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD， 由于∠PBQ=∠BCD=90°， （1）当∠1=∠2时，有：（2）当∠1=∠3时，有：∴经过，即，即； ， 秒或2秒，△PBQ∽△BCD． 7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=
，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
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解答： 解：∵AC=∴CD=，AD=2， =．要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ==，∴AB=，∴AB==3； =3． （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
解答： 解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm， ∵∠C=∠C=90°，当（1）当（2）当时，时，或时，两三角形相似． ，∴x=，∴x=； ． 19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
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