练习六 静电场中导体和电介质（二）
1.一平行板电容器充满两种均匀电介质，其厚度分别为d1、d2，相对介电常数分别为εr1、εr2，如图所示，设两板间的电势差为V0，则两板上的自由电荷面密度为 。
U0?E1d1?E2d2???d1?d2 ?0?r1?0?r2???U??0r1r20d1?r2?d2?r1（3）球壳内表面的感应电荷分布均匀，外表面感应电荷分布不均匀；
（4）球壳内、外表面的感应电荷仍保持均匀分布。
6.半径为R，带电量为Q的导体球，球外有一厚度为d的同心均匀电介质球壳，介质相对介电常数为εr，如图所示，求电场强度和电势的分布。 ??高斯定理?E?ds??q?0i??或?D?ds??qi真空：4?r2EI?0,EI?0介质：4?r2DII?Q,DII?Q4?r2Q所以：EII?4??0?rr2Q4??0r2
2.同轴电缆是由半径为R1的直导线和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介质常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+?和-?，则通过介质内长L，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为
???D??D?dS??qi???L，圆柱
真空：4?r2EIII?Q/?0，EIII??面上任一点的场强E=。
2??0?rr
3.（2）关于高斯定理，下列说法正确的是：
（1）高斯面内不包围自由电荷，则穿过高斯面的D通量与E通量均为零；
（2）高斯面上各点的D处处为零，则面内自由电荷的代数和必为零；
（3）高斯面上各点的D仅由面内自由电荷决定；
（4）穿过高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关，而穿过高斯面的E通量与高斯面内外自由电荷均有关。
4.（2）一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性，均匀电介质，则电场强度E、电容C、电压U、电场能量W四个量各自与充入介质前相比较，增大（ ）或减小（ ）的情形为：
（1）E增大 C增大 V增大 电场能量增大； （2）E减小 C增大 V减小 电场能量减小； （3）E减小 C减小 V增大 电场能量减小； （4）E增大 C减小 V减小 电场能量增大。
由Vp??R??E?dl得：
R?dVI??0dr??rREIIdr???R?dEIIIdr
11Q?(?)?4??0?rRR?d4??0(R?d)QVII??R?drEIIdr???R?dEIIIdr
11Q?(?)?4??0?rrR?d4??0(R?d)QVIII??EIIIdr?r?Q4??0r
7. 如图所示，球形电容器，内球半径为a，外球壳的半径为b，内外导体间的电势差为U，当b和U恒定不变时，a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？并求出这个最小电场强度的大小。
5.（2）在一个不带电的导体球壳的球心处放入一点电荷q，当q由球心处移开，但仍在球壳内时，请判断：
（1）球壳内、外表面的感应电荷均不再均匀分布；
（2）球壳内表面的感应电荷分布不均匀，外表面感应电荷分布均匀；
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4.（1）将平行板电容器接上电源后（不断电），用相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质充满其间，下面说法正确的是： （1）极板上的电量增加为原来的倍εr； （2）电容减小为原来的1/εr；
练习七 静电场中导体和电介质（三）
1.在间距为d的平行板电容器中,平行地插入一块厚度为d/2的金属平板,则电容变为原来的 2 倍;如果插入的是一块厚d/2的相对介电常数为εr=4的大介电平板,则电容变为原来的 1.6 倍。
（3）介质内的场强为原来的1/εr； （4）电场能量减少为原来的1/εr。
2
(1)C1??Q??s?u1E1?d/2?0?d/22?0s?2C0??d/2d?0
解：（2）C（1）q（3）E（4）W??s??rC0，U不变，
??CU??rC0U??rq0
Q??s(2)C2??u2??d/2???d/2?0?0?r?U/d?E0
?1/2?0?rE2V??rW0
??r?0s8?C01??rd5
5.（4）如图所示，两个同样的平行板电容器A和B，串联后接在电源上，再把电容器B充满相对介电常数为εr的均匀介质，则电容器A与B中的场强EA和EB的变化情况是： （1）EA不变，EB增大； （2）EA不变，EB减小； （3）EA减小，EB增大； （4）EA增大，EB减小。 解：没有介质时，A、B的电容为C0，两端的电压都为
2. 一空气电容器充电后切断电源，电容器储能W0，若此时灌入相对介电常数为εr的煤油，电容器储能变为W0的1/εr 倍；如果灌煤油时电容器一直与电源连接，则电容器储能将是W0的εr倍。
U，内2DV112W0?D0E0V??0E0V?0222?0W1?D0VW012?,W2??r?0E0V??rW02?r?0?r222
部场强为E0?U。有介质时： 2dUB?Q/(?rC0)UA?Q/C0,
3.（3）真空中A、B两板相距为d，面积均为s，分别带电+q和-q，不计边缘效应，则两板间的作用力为：
U?UA?UB?Q?q2（1）f? （2）f? 2?s4??0d0q2qq2f?（3）f? （4）
4??d22?0s2F?qE?q
?q?q 2?02?0s18
?rC0U?r?1?rC0U?Q
EA????0S?0S?0(?r?1)S??r0U?rUUd????E0S?0(?r?1)(?r?1)d2dQ1UUEB????E0S?r?0(?r?1)d2d
6. 一空气平板电容器，极板面积S，极板间距d，在连接电源的条件下，拉开两极板使极板间距变为2d，已知拉开极板过程中外力做功为A外，试求：
（1）电容器两极板间的电势差U;
（2） 拉开两极板过程中电源所作的功A源
解（1）F?qE?CUE?Ud?xd?x2??d?SU?0SU20A外??F?dl??dx?0(d?x)26dU6A外d?0S?0S
2．如图所示，均匀磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向沿x轴正方向，则通过abod面的磁通量为_________，通过befo面的磁通量为__________，通过aefd面的磁通量为_______。
?U?
11U?U2S（2）W0??0E2V??0()2S?d?022d2?d?0U2S同理：W?2?（2d）功能原理：A外?A源?W?W05?0U2S?A源??12d
7.两个同轴圆柱面，长度均为L，半径分别为a和b，两圆柱面间充满介电常数为ε的均匀电介质，当两圆柱面分别均匀带等量异号电荷±Q时，求： （1）半径为r（a （2）电介质中的总电场能量； （3）由总电场能量推算出圆 柱形电容器的电容。 3．（2）两个载有相等电流I的圆圈，半径均为R，一个水平放置，另一个竖直放置，如图所示，则圆心处磁感应强度的大小为： Q1（1）由E?和dW??E2dV,2??Lr2 2Q得：dW?dr4??Lr(2)W??baQ2QbdW??dr?ln a4??Lr4??LabQ2Q22??L（3）由W?得：C?? b2C2Wlna练习八 电流的磁场（一） 1．一无限长直导线abcde弯成图所示的形状，中部bcd是半 0 径为R、对圆心O张角为120的圆弧，当通以电流I时，O处 4．（4）如图所示，在无限长载流导线附近作一球形闭合曲面S，当面S向长直导线靠近的过程中，穿过S的磁通量?及面上任一点P的磁感应强度大小B的变化为： （1）?增大，B增大； （2）?不变，B不变； （3）?增大，B不变； （4）?不变，B增大。 6?33???0I磁感应强度的在大小B=，方向为垂直纸 6?R面向里 19 ??5.（1）磁场的高斯定理???B?dS?0说明了下面的哪些叙 S解：（1） 述是正确的？ a、穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b、穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c、一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 、一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （1）ad； （2）ac； （3）cd； （4）ab。 6．真空中的两根无限长直载流通导线L1和L2相互平行放置，I1=20A，I2=10A，如图所示，A、B两点与两导线共面，a=0.05m。求：（1）A、B两点处的磁感应强度B1和B2；（2）磁感应强度为零的位置。 练习九 电流的磁场（二） 1.有一半径为R的无限长圆柱形导体，沿其轴线方向均匀地通有稳恒电流I，则在导体内距轴线为r处的磁感应强度的大小 解：以×为正，（1） ?0IrB= 2?R21 ?0I ;导体外的磁感应强度的大小B= 2??r 2 。 2.两根长直导线通有电流I，如图所示，有三种环路，在每种情况下 等于： ?0I1?0I2BA???1.2?10?4T?2?a2?a ?0?4??10?7BB?（1）?0I（对环路a） （2） 0 （对环路b） （3）2?0I（对环路c） 3.（4）如图所示，a、c处分别放置无限长直载流导线，P为环路L上任一点，若把a处的载流导线移到b处，则： ?0I1?I?02?1.33?10?5T 2??3a2?a（2）经过分析，磁感应强度为零的点应该在L2的下方，假设到L2的距离为x ?0I20????x?2a?0.1m2??(x?2a)2?x 7．两平行长直导线相距d=40cm，通过导线的电流I1=I2=20A，电流流向如图所示。求：（1）两导线所在平面内与两导线等距的一点P处的磁感应强度。（2）通过图中斜线所示面积的磁通量（r1=r3=10cm，l=25cm）。 ?0I1 4.（3）在一圆形电流旁取一个圆形闭合回路L，且L与圆形电流同轴，由安培环路定律 则可得： （1）L上各点的B一定为零； （2）圆电流在L上各点的磁感应强度矢量 和一定为零； （3）B沿L上任一点的切向分量为零； （4）安培环路定律对圆电流的磁场不适用。 5.（1） 如图所示，两种形状的载流线圈中的电流强度相同， 则O1、O2处的磁感应强度大小关系是： 20