目录
中文摘要........................................................................................................................... 1 英文摘要........................................................................................................................... 1 一、引言........................................................................................................................... 2 二、随机变量及其分布................................................................................................... 2 （一）随机变量及其分布............................................................................................... 2
1．随机变量的概念.................................................................................................. 2 2．分布函数的定义.................................................................................................. 2 3．分布函数的性质.................................................................................................. 3 （二）离散型随机变量................................................................................................... 3
1．离散型随机变量及其分布的定义...................................................................... 3 2．分布列的基本性质.............................................................................................. 3 3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法.................................................. 5 （三）非离散型随机变量............................................................................................... 6
1．连续型随机变量及密度函数的定义.................................................................. 6 2．密度函数的性质.................................................................................................. 7 3．连续型随机变量分布函数的特征...................................................................... 8 4。非离散非连续的随机变量.................................................................................. 8 三、既不离散也不连续的随机变量及其判别............................................................... 9 （一）随机变量的判别................................................................................................... 9 （二）既不离散也不连续的随机变量的判别............................................................... 9 （三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例................................................. 11 四、结束语..................................................................................................................... 13 参考文献......................................................................................................................... 13
既不离散也不连续的随机变量
彭惠敏
摘要：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性
质、数字特征及其必要条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对随机变量的分类有更为深刻的理解。
关键词：离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量；
分布函数
Neither Discrete Nor Continuous Random Variable
Peng Hui-min
Abstract: Through the study of the classification of random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, that is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables’ distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth understanding of the classification of the random variables to the beginners.
Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function
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一、引言
除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，还有既不离散也不连续的随机变量，有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以讨论”，所以很多教科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连续型两类随机变量，造成很大的误解。应该说，随机变量分为离散型和非离散型随机变量，在非离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量，除此之外还有既不离散也不连续的随机变量。在我们所研究的随机变量中，主要有两类，这就是离散型随机变量和连续型随机变量。
二、随机变量及其分布 （一）随机变量及其分布
1．随机变量的概念
设E是随机试验，它的样本空间是??{?},如果对于每一个???都有一个实数和它相对应，这样就得到一个?上的实值函数X(?)，称X(?)为随机变量[1]。
随机变量按其取值情况可分为两类:离散型随机变量和非离散型随机量[2]。 如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。 非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，其中的一种对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。 X是一个随机变量，如果存在(??,??)上的非负可积函数f(x)，使X的分布函数F(x)??连续型随机变量， f(x)是X的概率密度函数。
既不离散也不连续的随机变量，一般教科书都不详细介绍。这种随机变量不常用，概率分布不易表达，用分布列只能表示其离散的部分，用密度函数只能表示其连续的部分，只有通过其分布函数F(x)?P?X?x?才能将分布表达清楚，而分布函数是初学者的难点。 2．分布函数的定义
设X(?)为随机变量，对任意实数x，称
F(x)?P(X(?)?x)
x??则称X为f(t)dt，
为随机变量X(?)的分布函数。
2
3．分布函数的性质
任意分布函数F(x)都有如下三条基本性质：
（1） 单调性 F?x?是定义在整个实轴上的单调非递减函数，即对任（??,??）意的x1?x2，有F(x1)?F(x2).
（2） 有界性 对任意的x，有0?F(x)?1，且
F(??)?limF(x)?0,
x???F(?)?limF(x)?1.
x??（3） 右连续性 F?x?是x的右连续函数，即对任意的x0，有
x?xlimF(x)?F(x0)
0?即
F(x0?0)?F(x0)
这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。
（二）离散型随机变量
1．离散型随机变量及其分布的定义
假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1,x2,?,xn,?,则称X取xi的概率
pi?p?xi??p?X?xi?,i?1,2,?,n? 为X的概率分布列或简称分布列，记为X分布列也可用如下列表方式来表示：
X P ?pi?.
? ? x1 p(x1) ?x1??p(x1)x2 p(x2) x2p(x2)xn p(xn) ?? ?? ? 或记成
xnp(xn)2．分布列的基本性质
i?（1）非负性 p(xi)?0,1,2, 3
3
（2）正则性
?p(xi?1?i)?1.
以上两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布列的充要条件。
由离散型随机变量X的分布列很容易写出X的分布函数
F(x)??p(xi)
xi它的图形是有限级（或无穷极）的阶梯函数。
F?x?是一个跳跃函数，它在xi处有跳跃度p(xi).可见F?x?可以唯一决定xi和
p(xi).
例1、设随机变量X的分布列为
X P 1 0.25 2 0.5 3 0.25 试求X的概率分布列及P(X?0.5)，P(1.5?X?2.5） ，并写出X的分布函数。 解：P(X?0.5)?P?X??1??0.25，P(1.5?X?2.5)?P?X?2??0.5.
x??1，?0,?0.25,?1?x?2,? F(x)???0.25?0.5?0.75,2?x?3,??0.25?0.5?0.25?1,x?3.F?x?的图形如图所示，它是一条阶梯型的曲线，在X可能取值-1，2，3处有右连续的跳跃点，其跳跃度分别为X在其可能取值点的概率：0.25，0.5，0.25.
y -1 0 1 2 3 x
特别，常量c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X?1)?c.这个分布常称为单
?0,x?c,F(x)??
?1,x?c.
4
点分布或退化分布，它的分布函数是
F(x) 1
0 c x
单点分布函数图
以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分布函数F?x?总是阶梯函数。 结论1 若随机变量?为离散型，那么其分布函数F?x?为阶梯函数。 证明
?为离散型随机变量
）
??的分布列为????xi???i， i?1,2,3, （不妨这里设x1?x2??xi?xi?1? 下证（1）当x?x1时，F?x??0； （2）当xi?x?xi?1， i?1,2,3,时，F?x??ci（常数），且
0?ci?ci?1?1.
事实上，（1）当x?x1时，
F?x??xk?x1?????x???????0;
k（2）当xi?x?xi?1，i?1,2,3,i时，
F?x???????xk???????xk?.
xk?xk?1 这是?取i（有限）个值对应概率相加
时，F?x??ci
i?1 ?其和一定存在，记为ci，即 当xi?x?xi?1, i?1,2,3,i 显然，0?ci??????xk???????xk??ci?1?1.
k?1k?1 综上可知，?的分布函数F?x?为阶梯函数。 3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法
我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。
结论2 设随机变量?的分布函数为F?x?.若F?x?是阶梯型函数，则?为离散型随机变量。
5
证明
F?x?是?的分布函数 F?x?是阶梯函数
?F?x?一定是右连续
?F?x?是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大的顺序排列起来的顺序为x1?x2??0,?c,?1??c, 则F?x???2??ci,???x?x1x1?x?x2x2?x?x3xi?x?xi?1?xi?xi?1?
其中，ci，i?1,2,3,为常数，0?ci?1
为?的分布列。
下证????xi??F?xi?0??F?xi?， i?1,2,3,（1）F?x?是单调不减的函数
?????xi??F?xi?0??F?xi??ci?ci?1?0 （2）F?xi?0??F?xi?1?
??????xi?????F?xi?0??F?xi???i?1i?1???lim???F?xi?0??F?x????limF?xn?1??1n??i?1n??n
综合（1）、（2）可知： ????xi??F?x??i0， i?1,2,3,?F??ix是?的分布列。
（三）非离散型随机变量
由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。 1．连续型随机变量及密度函数的定义
假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b)，则称其为连续随机变量。
Fx)，如果存在实轴上的一个非负可积函数定义 设随机变量X的分布函数为 (p(x)，使得对任意实数x有
[1]6
F(x)??p(t)dt
??x则称p(x)为X的概率密度函数，简称密度函数，或称密度。 2．密度函数的性质
（1）非负性 p(x)?0 （2）正则性
?????（含有p(x)的可积性）。 p(x)d?x1以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或判别某个函数是否成为密度函数的充要条件。
例：向区间(0,a)上任意投点，用X表示点的坐标。设这个点落在(0,a)中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关。求X得分布函数和密度函数。
解：记X的分布函数为F(x)，则
当x?0时，因为?X?x?是不可能事件，所以F(x)?P(X?x)?0； 当x?a时，因为?X?x?是必然事件，所以F(x)?P(X?x)?1；
当0?x?a时，有F(x)?P(X?x)?P(0?X?x)?kx，其中k为比例系数。因为
1?F(a)?ka，所以得k?1. a于是X的分布函数为
x?0,?0,?x?F(x)??,0?x?a,
?ax?a.??1,下面求X的密度函数p(x).
当x?0或x?a时，p(x)?F'(x)?0; 当0?x?a时，p(x)?F'(x)?1， a而在x?0和x?a处，p(x)可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率的计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是X的密度函数为
?1?,0?x?a, p(x)??a?其他.?0,这个分布就是区间(0,a)上的均匀分布，记为U(0,a)，其密度函数p(x)和分布函数的图形如下。
7
y y 11 aa 0 a x 0 a x (a) p(x)的图形 (b) F(x)的图形
(0,a)上的均匀分布
3．连续型随机变量分布函数的特征
结论3 设?为连续型随机变量，F(x)是其分布函数，则F(x)是连续函数。 证明 ∵ (Fx)是连续型随机变量的分布函数
?由定义，存在非负可积函数p(x)，对?x????,???有
F?x?????t?dt
??x 又由变动积分上限函数的性质可知， (Fx)连续 故 (Fx)是R上的连续函数。 4.非离散非连续的随机变量
除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。
例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。
x?0,?0,?1?x?F(x)??,0?x?1,2?x?1.??1,y
1
0.5
0 1 x 既非离散又非连续的分布函数示例
8
从图上看出，它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既是非离散的又是非连续的分布。这类分布函数 (Fx)常可分解为两个分布函数的凸组合，如上例中的分布函数可分解为
F(x)?11F1(x)?F2(x) 22其中
?0,0,x?0,?? F2(x)??x,F1(x)???1,x?0.?1,?x?0,0?x? 1,x?1.F1x)是而 (（离散）单点分布函数， （连续）均匀分布U(0,1)的分布函数。 F2(x)是
三、既不离散也不连续的随机变量及其判别
（一）随机变量的判别
由结论1的逆否命题可得，
结论4 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是阶梯函数，则?一定是非离散型随机变量。
由结论3的逆否命题可得，
结论5 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是连续函数，则?一定是非连续型随机变量。
（二）既不离散也不连续的随机变量的判别
既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分布函数的特点[3]。
（1）分布函数是右连续，但却不是在每一个分段区间内是常函数，这一点区别于离散型随机变量的分布函数。
（2）分布函数不是连续函数，在某些点处有跳跃性，这一点区别于连续型随机变量的分布函数。
综上，我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。
Fx)既不是阶梯函数又不是连续函数，则?一结论6 若随机变量?的分布函数 (定是既不离散也不连续的随机变量。
例4 已知函数
x?0?0,?F?x???0.5(x?1),0?x?1
?1,x?1?9
证明： (Fx)是既不离散也不连续的某个随机变量?的分布函数。 证: 先证 (Fx)是?的分布函数。
(1)单调性：设x1?x2，
若x1、x2?0，则F?x1??F?x2??0 ; 若x1?0，x2?0，则0?F?x1??F?x2?;
若0?x1、x2?1，则F?x2??F?x1??0.5?x2?1??0.5?x1?1??0.5?x2?x1??0，
故F?x1??F?x2?;
若0?x1?1，x2?1，则F?x1??1?F?x2?，故F?x1??F?x2?; 若x1、x2?1，则F?x1??F?x2??1; 综上，F?x1??F?x2?.
(2)有界性：F?????xlim???F?x??0, F?????xlim???F?x??1;
(3)右连续性：只需考虑间断点0、1处的连续性。 F(0?0)?F(0?)F0,?(1?F0)? (1 ?F(x?0)?F(x )，故F?x?右连续。 ?F(x)可作为某随机变量?的分布函数。 再证 (Fx)是非离散非连续随机变量的分布函数。
易见 (Fx)是以x?0为间断点的非连续函数，同时也非阶梯函数。故由结论6，是既不离散也不连续的随机变量。
例5设随机变量的分布函数为
问随机变量?是离散型，还是连续型？
证：利用分布函数的性质来判断此函数在x?2处不连续， ∴?不是连续型随机变量。
∵此分布函数在区间(0,2]上不是常函数， ∴?不是离散型随机变量，
故?为既非离散又非连续的随机变量。
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? （三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例
在研究生入学考试中，对单纯的连续性和离散型随机变量的考查越来越少，反而对这种既不离散也不连续的随机变量考察加重，更注重考生们对知识点综合应用的能力，下面给出几个近几年考研中出现的此种类型的例子。
111.（1997，11）：假设随机变量X的绝对值不大于1，P?X??1??,P?X?1??,84在事件??1?X?1? 出现的条件下， X在??1,1?内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求
（1）X的分布函数F(x)?P?X?x?; (2) X取负值的概率p.
11由于P?X??1??,P?X?1??,在X??1和X?1这两点可以作为离散型的情况
84来处理。在其它情况下可作为连续型的情况来处理，且在??1,1?内服从均匀分布， X115在此区间内取值的概率为P??1?X?1??1???.
848因此，X的分布函数为
?0,x??1?51?F?x???(x?1)?,?1?x?1
8?16x?11,??易见，F?x?既非阶梯函数又不是连续函数，所以由结论6可知，X是既不离散也不连续的随机变量。
2.（2002）假设以设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).
解：设X的分布参数为?，由于EX?11.易见Y?min?X,2?. 5y5??5，可知??当y?0时，F(y)?0；当y?2时，F(y)?1;
当0?y?2时，F(y)?P?Y?y??P?min(X,2)?y??P?X?y??1?e.
y?0,?0，?y??Y的分布函数F(y）=?1?e5,0?y?2,
?1,y?2.???3.（99，4，3分）假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min?X,2?的分布函数（ ）
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（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点 【分析】首先求出Y的分布函数为（参见上题）
y?0,?0,?Fy(y)??1?e??y,0?y?2,由于Y的分布函数恰好在y?2处有一个间断点，因此
?1,y?2.?应选（D）.
4.设随机变量的绝对值不大于1，且P?X?0??取值范围内服从均匀分布，求X分布函数F(x).
证：写出已知条件的数量关系。依题意
13P{X?1}?P{?1?X?1}?1，P?X?0? =，P?X?0??，
441，已知当X?0时， X在其他4又除0点外， X在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含0点的子区间内
3的概率与该子区间的长度成正比，比例常数??，故有
8当x??1时F(x)?0；当x?1时，F(x)?1；
33x??1??当?1?x?0时F(x)?P{X?x}?P{X??1}?P{?1?X?x}?? ???x?1?；??88当0?x?1时，
3133x?5 F(x)?P{X?x}?P?X?0??P?X?0??P{0?X?x}=??(x?0)?8488x??1,?0,?3x?3?,?1?x?0,?8综上得F(x)??
3x?5?,0?x?1,?8?1,x?1.?x?0,?0,?1?5.设随机变量X的分布函数F(x)??,0?x?1,则P?X?1??（ ）
2??x1?e,x?1,??11（A） 0. （B）. (C) ?e?x. (D)1?e?1.
2211?F(?1?01)?e?1???e?1. 【分析】 P?X?1??P1?F(1)?X?1???PX??22故应选（C）.F(x)的分布函数在x?0和x?1处有分别有一个间断点，并且x?1不是常函数，所以X是既不离散也不连续的随机变量。
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考研中常遇到已知一个随机变量X的分布，又知另一个随机变量Y与X的函数关系Y?g(X)，求随机变量Y的分布。这属于求随机变量函数的分布问题。如果Y是既不离散也不连续的随机变量混合型随机变量，则一般是求其分布函数。
既不离散也不连续的随机变量是一类特殊的随机变量，一般形式比较复杂，但只要对其正确理解，求出其分布也就不难了。
四、结束语
本文总结了分布函数和离散型及连续型随机变量的相关知识，给出离散型和连续型随机变量的判别方法并证明，在此基础上讨论既不离散也不连续的随机变量，并通过对离散型和连续型随机变量判别方法逆命题的证明给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，运用实例加以说明，使初学概率统计者加深对随机变量的理解。本文举出了近几年考研中常见的既不离散也不连续的随机变量的题型，可以在此基础上进一步洞悉考研中随机变量的发展方向，总结此种类型问题的一般解题方法，使初学者对以后随机变量的学习有更深一层的了解。
参考文献
[1] 茆诗松.概率论与数理统计教程第二版. 北京:高等教育出版社，2011. [2]杨桂元.既不离散也不连续的随机变量[C].大学数学，2003. [3]宁丽娟.既非离散也非连续的随机变量[A].高等数学研究.2014.
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