小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

任意四边形、梯形与相似模型

模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型)

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):

DAS2BS1OS3C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4

②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

S4蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△

AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?

CBOAD

【分析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是1?2?3?1.5?7.5平

方千米,所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米

【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,

求:⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC??

A2BC1G3D

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,SVBGC?1?2?3,那么SVBGC?6;

⑵根据蝴蝶定理,AG:GC??1?2?:?3?6??1:3. (???)

精选

【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

1面积的,且AO?2,DO?3,那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

3AODAHODGCCBB 【解析】 在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已

知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD:SVBCD?1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3, ∴OC?2?3?6, ∴OC:OD?6:3?2:1.

解法二:作AH?BD于H,CG?BD于G.

1∵S?ABD?S?BCD,

31∴AH?CG,

31∴S?AOD?S?DOC,

31∴AO?CO,

3∴OC?2?3?6, ∴OC:OD?6:3?2:1.

【例 3】 如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、

4、4和6。求:⑴求△OCF的面积;⑵求△GCE的面积。

AOGDFC

【解析】 ⑴根据题意可知,△BCD的面积为2?4?4?6?16,那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?8,

所以△OCF的面积为8?4?4;

⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为8?6?2, 根据蝴蝶定理,EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2,所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2,

112那么S?GCE?S?CEF??2?.

1?233

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的

精选

BE面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?

D667AEC7B

【解析】 在VABE,VCDE中有?AEB??CED,所以VABE,VCDE 的面积比为(AE?EB):(CE?DE)。同

理有VADE,VBCE的面积比为(AE?DE):(BE?EC)。所以有SVABE×SVCDE=SVADE×SVBCE,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即SV所以有VABE与VADE的面积ABE?6=SVADE?7,

76比为7:6,SV?39?21公顷,SV?39?18公顷。 ABE=ADE=

6?76?7显然,最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积

为 。

ADBC【解析】 连接AD、CD、BC。

则可根据格点面积公式,可以得到?ABC的面积为:1?ADB

OC

43?1?2,?ACD的面积为:3??1?3.5,22?ABD的面积为:2?4?1?3. 24412?S?ABD??3?. 4?71111所以BO:OD?S?ABC:S?ACD?2:3.5?4:7,所以S?ABO?

【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。

EDABC

【解析】 因为BD:CE?2:5,且BD∥CE,所以DA:AC?2:5,S?ABC?5510,S?DBC??2?. 2?577

【例 6】 (2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE?2EC,CF?FD,求三角形AEG的面积.

精选

AGDAGDFFB【解析】 连接EF.

EC

BEC

1111因为BE?2EC,CF?FD,所以S?DEF?(??)SWABCD?SWABCD.

23212111因为S?AED?SWABCD,根据蝴蝶定理,AG:GF?:?6:1,

22126613所以S?AGD?6S?GDF?S?ADF??SWABCD?SWABCD.

774141322所以S?AGE?S?AED? S?AGD?SWABCD?SWABCD?SWABCD?,

214772即三角形AEG的面积是.

7

【例 7】 如图,长方形ABCD中,BE:EC?2:3,DF:FC?1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长

方形ABCD的面积.

AGDFC

AGDFC

BEBE【解析】 连接AE,FE.

3111因为BE:EC?2:3,DF:FC?1:2,所以SVDEF?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD.

53210111因为SVAED?S长方形ABCD,AG:GF?:?5:1,所以SVAGD?5SVGDF?10平方厘米,所以SVAFD?12平

22101方厘米.因为SVAFD?S长方形ABCD,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.

6

【例 8】 如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角

形BDG的面积.

A

EDAEDOFGCBB 【解析】 设BD与CE的交点为O,连接BE、DF.

GC

F11由蝴蝶定理可知EO:OC?SVBED:SVBCD,而SVBED?SWABCD,SVBCD?SWABCD,

421所以EO:OC?SVBED:SVBCD?1:2,故EO?EC.

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