表5.1 部分Cotes系数
n C?n?i 2 3 4 5 6 7 8 9 111
例5.3 试分别用梯形公式和Simpson公式计算
I??1sinx0xdx 解 用梯形公式计算，有
用Simpson公式计算，有
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2）n点Newton-Cotes公式的代数精度
定理5.1 当求积节点个数n为奇数时，对应的Newton-Cotes求积公式的代数精度至少为n。 证明 由于是插值型求积公式，故有
R?xR?xnk??0,x??nk?0,1,?,n?1对xn有
k?1???n?2l?1s?t?lb?x?n?n?an!l2l?1k?1??x?x?dxkk?1x?a?th?hn?1???t?k?1?dt0n?1n
?hn?1??l??s?l?k?1?dsm?l?k?1记 ??s????s?l?k?1?k?12l?1?m??l??s?m?，易知???s?????s?，
l故
是奇函数，得R?x??hnn?1???s?ds?0，得证。
?ll113
3） 梯形公式与Simpson公式的余项
引理 5.1 (积分中值定理)
设f?x?,g?x??C?a,b?，且g?x?在?a,b?上不变号，则有
?f?x?g?x?dx?f????g?x?dxaabb???a,b?
梯形公式余项为
R1?f???baf??????x?a??x?b?dx??[a,b] 2!?x?a??x?b?在[a,b]不变号，f?x?有2阶连续导数，由
引理 5.1，有
R1?f??f?????2!b??x?a??x?b?ab?a??dx??123f???????[a,b]
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