【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（16分）（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an
﹣1
+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）
数列”．
（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣
3
+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得
数列{an}是“P（3）数列”；
（2）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣
1
+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数
列．
【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，
则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，
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=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）， =2an+2an+2an， =2×3an，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，① 数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，② 由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③ an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1， 整理得：2an=an﹣1+an+1， ∴数列{an}是等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．
20．（16分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．
【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=
+（a＞0），结合f（x）
=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=
﹣
+
=
（4a3﹣27）（a3﹣
27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
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（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为解不等式b﹣
+
﹣
+2=﹣
﹣
，利用韦达定理
+2，进而问题转化为
≥﹣，因式分解即得结论．
【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a， 令g′（x）=0，解得x=﹣．
由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减； 所以f′（x）的极小值点为x=﹣，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点， 所以f（﹣）=0，即﹣所以b=
+（a＞0）．
+
﹣
+1=0，
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值， 所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根， 所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣所以b=
+（a＞3）．
﹣
+
=
（4a3﹣27）（a3﹣
+＞0，解得a＞3，
（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=所以f（x1）+f（x2）=
+
+a（
+
，x1x2=，
，
）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2 =
﹣+2，
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又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣， 所以b﹣
+
﹣
+2=﹣
≥﹣，
因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0， 所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0， 所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0， 由于a＞3时2a2+12a+9＞0， 所以a﹣6≤0，解得a≤6， 所以a的取值范围是（3，6]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）
21．（2017?江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC2 =AP?AB．
【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明． （2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC． ∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°． ∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC， ∴∠PAC=∠CAB．
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