山东省枣庄市滕州市鲍沟中学八年级数学上学期期末复习试卷(勾股定理)(含解析)新人教版

【考点】翻折变换(折叠问题);勾股定理;矩形的性质.

【分析】由折叠的性质得出EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,由ASA证明△ODP≌△OEG,得出OP=OG,PD=GE,设AP=EP=x,则PD=GE=6﹣x,DG=x,求出CG、BG,根据勾股定理得出方程,解方程即可.

【解答】解:如图所示:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8, 根据题意得:△ABP≌△EBP,

∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8, 在△ODP和△OEG中,

∴△ODP≌△OEG(ASA), ∴OP=OG,PD=GE, ∴DG=EP,

设AP=EP=x,则PD=GE=6﹣x,DG=x, ∴CG=8﹣x,BG=8﹣(6﹣x)=2+x, 根据勾股定理得:BC2+CG2=BG2, 即62+(8﹣x)2=(x+2)2, 解得:x=4.8, ∴AP=4.8;

故答案为:4.8.

17.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两边长分别为3和5,则小正方形的面积为 1或4 .

【考点】勾股定理的证明.

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【分析】分两种情况:①5为斜边时,由勾股定理求出另一直角边长为4,小正方形的边长=4﹣3=1,即可得出小正方形的面积;

②3和5为两条直角边长时,求出小正方形的边长=2,即可得出小正方形的面积;即可得出结果.

【解答】解:分两种情况: ①5为斜边时,

由勾股定理得:另一直角边长=

=4,

∴小正方形的边长=4﹣3=1,

2

∴小正方形的面积=1=1; ②3和5为两条直角边长时, 小正方形的边长=5﹣3=2,

2

∴小正方形的面积2=4;

综上所述:小正方形的面积为1或4; 故答案为:1或4.

18.观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数: 13、84、85 . 【考点】勾股数.

【分析】先根据给出的数据找出规律,再根据勾股定理进行求解即可. 【解答】解:从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2, 故第5组第一个数是11,第6组第一个数是13, 又发现第二、第三个数相差为一,

故设第二个数为x,则第三个数为x+1, 根据勾股定理得:132+x2=(x+1)2, 解得x=84.

则得第6组数是:13、84、85. 故答案为:13、84、85.

三、解答题

19.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD

的面积.

【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.

【分析】连接AC,在直角三角形ABC中,由AB及BC的长,利用勾股定理求出AC的长,再由AD及CD的长,利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形,根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积,即可求出四边形的面积. 【解答】解:连接AC,如图所示:

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∵∠B=90°,

∴△ABC为直角三角形, 又∵AB=3,BC=4, ∴根据勾股定理得:AC=

=5,

又∵CD=12,AD=13,

∴AD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

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∴CD+AC=AD,

∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°,

则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=×3×4+×5×12=36.

故四边形ABCD的面积是36.

20.如图,梯子AB斜靠在一竖直的墙上,梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米,梯子的顶端B到地面的距离BO为6米,现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米,同时梯子的顶端B下降至B′.求梯子顶端下滑的距离BB′.

【考点】勾股定理的应用. 【分析】在△RtAOB中依据勾股定理可知AB2=40,在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长,从而可求得BB′的长.

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【解答】解:在△RtAOB中,由勾股定理可知AB=AO+OB=40,在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2. ∵AB=A′B′,

∴A′O2+OB′2=40. ∴OB′==. ∴BB′=6﹣.

21.两根电线杆AB、CD,AB=5m,CD=3m,它们的底部相距8m,现在要在两根电线杆底端之间(线段BD上)选一点E,由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE.若使钢索AE与CE相等,那么点E应该选在距点B多少米处?

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【考点】勾股定理的应用.

【分析】设BE=x米,在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE2=52+x2,在Rt△CDE中,由勾股定

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理得:CE=3+(8﹣x),根据AE=CE∴5+x=3+(8﹣x)求得BE的长即可. 【解答】解:设BE=x米, 在Rt△ABE中,AE2=52+x2

在Rt△CDE中,CE2=32+(8﹣x)2, ∵AE=CE, 2222

∴5+x=3+(8﹣x), 解得x=3,

答:点E应该选在距B点3米处.

22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC上一点,且AE=BC,过点A作AD⊥CA,垂足为A,且AD=AC,AB、DE交于点F

(1)判断线段AB与DE的数量关系和位置关系,并说明理由

(2)连接BD、BE,若设BC=a,AC=b,AB=c,请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理.

【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理的证明. 【分析】(1)根据全等三角形的判定与性质,可得∠1与∠3的关系,AB与DE的关系,根据余角的性质,可得∠2与∠3的关系; (2)根据面积的不同求法,可得答案. 【解答】解:(1)AB=DE,AB⊥DE,

如图2,

∵AD⊥CA,∴∠DAE=∠ACB=90°. 在△ABC和△DEA中,

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