?2?3?5.9 质量为m?10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.5?10cos?8?t?13?的
规律作简谐振动，式中 t以秒为单位，x以米为单位。试求：
(1) 振动的圆频率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值； (2) 求t?1s,2s,10s时刻的位相。
(3) 利用Mathematica绘出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
解(1)：??8?s , T??12???0.25s , A?0.5?10?2m , ?0?13?
?V??4??10?2sin?8?t?1?4??10?2?0.126ms?1 3? ? Vmax?a??32?2?10?2cos?8?t?1?32?2?10?2?3.16ms?2 3? ? amax(2) ? ??8?t??3
25?
33?49?2?16????
33?241?10?80????
335.10 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的物体按题图5.10所示的两种方式连接
??1?8????试证明它们的振动均为谐振动。
k1 m k2 k1 k2 m
题图5.10
证明：(1)当物体向右移动x时，左端弹簧伸长x，而右端弹簧缩短x，它们对物体作用力方向相同，均与物体位移方向相反，所以
f??k1x?k2x??(k1?k2)x
因此物体将作简谐振动。
(2) 设两弹簧分别伸长x1与x2，则弹簧对物体的作用力 f??k2x2 对两弹簧的连接点有: k1x1?k2x2 且 x?x1?x2 解此两式： x2?k1x
k1?k2 33
代入f中： f??因此物体将作简谐振动。
k1k2x
k1?k25.11 如题图5.11所示，质量为m的物体放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角?，弹簧的
劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动。
m k ? 题图5.11
证明：取未用手托系统静止时m的位置为平衡位置，令此点位坐标原点，弹簧伸长x0，则有： mgsin??kx0 (1) 当物体沿斜面向下位移为x时，则有：
mgsin??T1?ma (2) T1R?T2R?I? (3) T2?k(x0?x) (4)
a?R? (5)
将(2)与(4)代入(3),并利用(5),可得
I)a?mgRsin??kx0R?kxR RkR利用(1)式，得到 a??x
ImR?R(mR?所以，物体作的是简谐振动。
5.12 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表
出。如果t?0时质点的状态分别是： (1) x0??A；
(1) 过平衡位置向x轴正向运动； (3) 过x?12A处向x轴负向运动；
34
(4) 过x?12A处向x轴正向运动。
试用旋转矢量图方法确定相应的初位相，并写出振动方程。 Y (3) A ??/3 (1) O X ??/4
(4) (2)
解：令振动方程为：x?Acos??2??t??? ?T??2??t??? ?T?(1) ?t?0,x0??A，?cos???1 ? ???，?x?Acos?(2) ?t?0,x0?0，?cos??0 ?
????2
?V0?0 ? sin??0 ? ???(3) ?t?0,x0??2，?x?Acos????2?t??
2??TA1?，?cos?? ? ??? 223?V0?0 ? sin??0 ? ???3，?x?Acos????2?t??
3??T(4) ?t?0,x0?A2，?cos??2? ? ??? 24?V0?0 ? sin??0 ? ???
?4，?x?Acos????2?t??
4??T5.13 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时，位移
?3 35
为24cm。求：
(1) t?0.5s时，物体所在的位置； (2) t?0.5s时，物体所受力的大小和方向；
(3) 由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (4) 在x?12cm处物体的速度、动能、系统的势能和总能量。 解：设物体的振动方程为 x?Acos(?t??) 由于 A?24cm， T?4s ?
??2??? T2???t? ?2?由于 t?0,x0?24cm ? cos??1 ? ??0，因此 x?24cos?(1) 将 t?0.5s代入，得到 x?24cos2?4?122?16.97cm?0.17m
?3(2) f??m?x 将t?0.5s代入，得到f??10?10负号表示方向与x轴方向相反。 (3) 将x?12m代入x?24cos???24?0.17??4.2?10?3N
2??????1t?中，得到 cos?t?? ?t?s
3?2??2?2(4) V??12??10?232?????0.326ms?1 sin?t? ，将t?s代入得V??12??10?2?23?2?EK?11mV2??10?10?3?36?3??2?10?4?5.33?10?4J 22k?25?22?3??10kgs?2 ? k?m??10?10?m42由 ??1215?2?10?3?0.122?1.78?10?4J 因此 EP?kx??222E?EK?EP?5.33?10?4?1.78?10?4?7.11?10?4J
5.14 有一轻弹簧，下端悬挂一质量为0.1kg的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m。如果我们再把砝码竖直拉下0.02m，求放手后砝码的振动频率和振幅。
解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有
mg?kx0 ? k?mg/x0
当下拉x位置时，砝码所受回复力为
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