所以
1
4411
????=
??(??+3)=3(??-??+3
), 从而1??+111
??+??+…+1
2
3
??
??=411111111111
3(1-4)+(2-5)+(3-6)+…+(??-2-??+1)+(??-1-??+2)+(??-??+3)
=4
1
1
1
1
1
4
111
1
1
22
31+2+3???+1???+2???+3=3
6
???+1???+2???+3<9.
所以M≥22
,故22
9
M的最小值为9
.
6.已知数列{an}是公比为q的正项等比数列,{bn}是公差d为负数的等差数列,满足11
??2
???3
=
????,b1+b2+b3=21,b1b2b3=315. 1
(1)求数列{an}的公比q与数列{bn}的通项公式; (2)求数列{|bn|}的前10项和S10. 解(1)由已知,b1+b2+b3=3b2=21,得b2=7,
又b2
1b2b3=(b2-d)·b2·(b2+d)=(7-d)·7·(7+d)=343-7d=315, 得d=-2或2(舍),b1=7+2=9,bn=-2n+11.
于是11-2
??2
???3
=??,
1
又{a-2
n}是公比为q的等比数列,故
1
??1???
1
??1??2=
??, 1
所以,2q2
+q-1=0,q=-1(舍)或1
2
.
综上,q=1
2,d=-2,bn=11-2n.
(2)设{bn}的前n项和为Tn;令bn≥0,11-2n≥0,得n≤5,
13
于是,S5=T5=5(??1+??5)
2
=25.
易知,n>6时,bn<0,|b6|+|b7|+…+|b10|=-b6-b7-…-b10=-(b6+b7+…+b10)=-(T10-T5)=-(0-25)=25,所以,S10=50.
B组 能力提升
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N)在函数f(x)=x+x的图象上.
2
2
*1
2
1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{范围.
1
????????+2
}的前n项和为Tn,不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值
3
1
解(1)∵点(n,Sn)在函数f(x)=2x+2x的图象上,
1
2
1
∴Sn=2n2+2n.
1
1
11
①
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)+2(n-1),
2
②
①-②,得an=n.
当n=1时,a1=S1=1,符合上式.
∴an=n(n∈N*).
1
??????+2
(2)由(1),得??=??(??+2)=2(??-??+2),
1111
∴Tn=??1
1??3
+??1
2
+…+????4
1
??????+2
=21-3+2?4+…+?????+2=4?2
11111131
+??+2. ??+1
11
∵Tn+1-Tn=(??+1)(??+3)>0,
1
14
∴数列{Tn}单调递增,
∴{T1
n}中的最小项为T1=3.
要使不等式T1对任意正整数n恒成立,只要1>1n>3
loga(1-a)3
3
loga(1-a),
即loga(1-a) 解得0 2,即实数a的取值范围为(0,2 ). 8.设{a*n}是各项均不相等的数列,Sn为它的前n项和,满足λnan+1=Sn+1(n∈N,λ∈R). (1)若a1=1,且a1,a2,a3成等差数列,求λ的值; (2)若{an}的各项均不为零,问当且仅当λ为何值时,a2,a3,…,an,…成等差数列?试说明理由.解(1)令n=1,2,得{????2=??1+1=2, 2????+?? 3=??2+1=??12+1, 又由a1,a2,a3成等差数列, 所以2a2=a1+a3=1+a3, 解得λ=3±√52 . (2)当且仅当λ=1 2时,a2,a3,…,an,…成等差数列, 证明如下: 由已知λnan+1=Sn+1,当n≥2时,λ(n-1)an=Sn-1+1, 两式相减得λnan+1-λnan+λan=an, 即λn(an+1-an)=(1-λ)an, 15 由于{an}的各项均不相等, 所以 ????1-??= ??????(n≥2), ??+1-????当n≥3时,有 ??(??-1)????-1 1-??=??, ??-????-1 两式相减可得??????????-1 1-??=??, ??+1-?????????-????-1 ①当λ=1 2,得????????-1+1=????????+1-????=????-????-1 ??, ??-????-1由于an≠0,所以an+1-an=an-an-1, 即2an=an+1+an-1(n≥3), 故a2,a3,…,an,…成等差数列. ②再证当a1 2,a3,…,an,…成等差数列时,λ=2, 因为a2,a3,…,an,…成等差数列, 所以a????n+1-an=an-an-1(n≥3),可得????-1??????-1????+1-??=1=??, ???????-????-1 =??????-????-1 ?????-????-1 1-??所以λ=1 2, 所以当且仅当λ=1 2时,a2,a3,…,an,…成等差数列. 大题专项练(三) 立体几何 16