联立{
??=-2??+2,2??2
消去x,得(λ+1)y-2λy=0,得y=, 2
??+1????2+4??2=4??,
=
|????||????||????||????|
??1
??2
=
1
|????||????|sin∠??????21|????||????|sin∠??????2
=
1
21??1-2
×
??2-2
12
1
=
??2-2
1??1-2
1
=
9??+1
??+1
,
设g(λ)=9??+1
=9-??+1,则g(λ)在[1,3]上递增, ??+1
8
又g(1)=5,g(3)=7,
∴??1的取值范围为[5,7].
2
??8.(2019山东聊城三模)已知椭圆
??2C1:??2??2
+??2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,椭圆的离心率为2,
1
过椭圆C1的左焦点F1,且斜率为1的直线l,与以右焦点F2为圆心,半径为√2的圆C2相切. (1)求椭圆C1的标准方程;
(2)线段MN是椭圆C1过右焦点F2的弦,且??????????? ????2=λ????????????? 2??,求△MF1N的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.
(1)解设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则直线l的方程为:y=x+c,即x-y+c=0.
∵直线l与圆C2相切,∴圆心F2到直线l的距离为d=|??+??|√2=√2,解得c=1.
∵椭圆C1的离心率为2,即??=2,∴a=2,∴b2=a2-c2=4-1=3,
??24
111
∴椭圆C1的方程为+
??23
=1.
(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),
由题意得直线MN的斜率不为0,故设直线MN的方程为x=ty+1(t∈R),
61
代入椭圆方程
??2??24
+
3
=1,化简可得(4+3t2)y2+6ty-9=0,
Δ=36t2+36(4+3t2)>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1,y2是方程(4+3t2
)y2
+6ty-9=0的两个不等实根,
∴y-6??-9
1+y2=4+3??2,y1y2=4+3??2.
∴△MF1
|y1
1N的面积??△????1??=2·|F1F2|·1-y2|=2×2×|y1-y2|=|y1-y2|
=√(??2
1+??2)-4??1??2
=√(-6??)2
4+3??2-4·(-9
12√??2+14+3??2)=
4+3??2
.
设√??2+1=m,则m≥1,t2=m2-1,则3t2+4=3m2
+1,????△????1??=12×3??2+1.
令f(m)=??3??2+1
(m≥1),则f'(m)=1-3??2
(3??2+1)
2<0恒成立,
则函数f(m)在[1,+∞)上为减函数,故f(m)的最大值为f(1)=1
4, 所以△MF1
1N的面积的最大值为12×4=3,当且仅当m=1,即t=0时取最大值, 此时直线MN的方程为x=1,即直线MN垂直于x轴,此时??????????? ????2=??????????? ??2??,即λ=1.62
大题专项练(七) 选做题
A组 基础通关
1.(2019辽宁沈阳东北育才学校八模)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|. (1)求f(x)≥3的解集;
(2)记函数f(x)的最小值为M,若a>0,b>0,且a+2b=M,求1+2
????的最小值.
解(1)由f(x)≥3,得
{??≤-1,-(??-1)-(??+1)≥3或{-1
??>1,-(??-1)+(??+1)≥3或{(??-1)+(即{??≤-1,-11,??≤-3或{1,
2≥3
或{3 2??≥2.解得x≤-3
2或x≥3
2,
∴不等式f(x)≥3的解集为-∞,-33
2∪2,+∞.
(2)∵f(x)=|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,
∴f(x)的最小值M=2,∴a+2b=2, ∵a>0,b>0,
∴1212??+2??2????+??=(??+??)·
2
=
12
5+2????+
??≥
12??2
5+2√
2????·
??=9
2,
当且仅当2??2????=
即a=b=2
??3时等号成立, ∴129
??+??的最小值为2.
2.(2019江西赣州5月适应性考试)已知函数f(x)=|x+1|+2|x-1|.
+1)≥3,63
??(1)求不等式f(x)≤4的解集;
(2)若函数y=f(x)图象的最低点为(m,n),正数a,b满足ma+nb=4,求2+1
????的取值范围.
解(1)当x≤-1时,f(x)=-3x+1≤4,得x≥-1,所以x=-1,
当-1 当x≥1时,f(x)=3x-1≤4,得x≤55 3 ,所以1≤x≤3 , 综上,-1≤x≤5 3, 不等式f(x)≤4的解集为[1,5 3]. -3??+1(??≤-1), (2)由f(x)={-??+3(-1 3??-1(??≥1)所以a+2b=4,因为a>0,b>0, 所以2112114????1 ??+??=4(a+2b)(??+??)=44+??+??≥4(4+2√4)=2, 当且仅当a=2b=2时等号成立, 所以2??+1 ??的取值范围为[2,+∞). 3.(2019河北石家庄一模)已知函数f(x)=√2|??-3|-|??|-??的定义域为R; (1)求实数m的取值范围; (2)设实数t为m的最大值,若实数a,b,c满足a2+b2+c2=t2 ,求111 ??2+1+??2+2+??2+3的最小值.解(1)由题意可知2|x-3|-|x|≥m恒成立,令g(x)=2|x-3|-|x|, 64