所以存在x??0∈
6
,1+??6
,使f(x0)=0,
且当0
下面证:当a∈(1,e)时,lna 6a+1=alna-a-6+1, 记g(x)=xlnx-x-??26 +1,x∈(1,e), g'(x)=lnx-??3,x∈(1,e), 令h(x)=g'(x),则h'(x)=3-??3??>0, 所以g'(x)在(1,e)上单调递增, 由g'(1)=-1e 3<0,g'(e)=1-3>0, 所以存在唯一零点t0∈(1,e),使得g'(t0)=0, 且x∈(1,t0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, x∈(t0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 49 所以当x∈(1,e)时,g(x) 由g(1)=-1 -e26<0,g(e)=66 <0, 得当x∈(1,e)时,g(x)<0. 故f(lna)<0,0 F'(x)=(ex-a)f(x)>0,F(x)单调递增; 当lna F'(x)=(ex-a)f(x)<0,F(x)单调递减. 所以存在a∈(1,e)?(1,4),使得lna为F(x)的极大值点. 8.已知函数f(x)=ln x-1 2a(x-1)(a∈R). (1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若不等式f(x)<0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.解(1)若a=-2,则f(x)=lnx+x-1,f'(x)=1 ??+1, ∴切点为(1,0),切线的斜率k=f'(1)=2. ∴若a=-2,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2. (2)∵f(x)=lnx-1 2a(x-1), ∴f'(x)=12-??????? ??2 = 2??, ①当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增, 50 ∴当x>1时,f(x)>f(1)=0, ∴a≤0不合题意. ??(??-??)2??2 ②当a≥2,即0 22-????2??=-<0在(1,+∞)上恒成立, ∴当x>1时,f(x) 2 2 2 ③当0 2 22 ??,+∞上单调递减, ∴f??>f(1)=0, ∴0 综上所述,实数a的取值范围是[2,+∞). 大题专项练(六) 解析几何 A组 基础通关 1.(2019安徽蚌埠高三第三次教学质检)已知点E(-2,0),F(2,0),P(x,y)是平面内一动点,P可以与点E,F重合.当P不与E,F重合时,直线PE与PF的斜率之积为-4. (1)求动点P的轨迹方程; 51 1 (2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切,求该矩形面积的取值范围. 解(1)当P与点E,F不重合时, 由 kk1 ????1??22 PE·PF=-4,得??+2·??-2=-4,即4+y=1(y≠0), 当P与点E,F重合时,P(-2,0)或P(2,0). 综上,动点P的轨迹方程为 ??224 +y=1. (2)记矩形面积为S,当矩形一边与坐标轴平行时,易知S=8. 当矩形各边均不与坐标轴平行时, 根据对称性,设其中一边所在直线方程为y=kx+m,则对边方程为y=kx-m, 另一边所在的直线为y=-11 ??x+n,则对边方程为y=-??x-n, 联立:{ ??2+4??2=4,??=????+??, 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则Δ=0,即4k2+1=m2 . 矩形的一边长为d=|2??|1√??2+1, 同理:4 22 |2??|??2+1=n,矩形的另一边长为d=, √1??2+1S=d??|??|| (4??2+1)(??2+4) 1·d2=|2√??2+1·|2√ 1= |4????????2+1 =4·√ (??2+1) 2 ??2+1=4·√ 4??4+17??2+4(??2+1) 2=4·√4+ 9??2(??2+1) 2 =4·√4+ 9 ??2+ 1+2∈(8,10], ??2 52