通用版2020版高考数学大二轮复习 大题专项练习 分类汇编全集 文

即f(x1)+f(x2)<2f??1+??2

2

.

-x5.已知函数f(x)=ln x+??,g(x)=e+bx,a,b∈R,e为自然对数的底数. (1)若函数y=g(x)在R上存在零点,求实数b的取值范围;

??(2)若函数y=f(x)在x=处的切线方程为ex+y-2+b=0.求证:对任意的x∈(0,+∞),总有f(x)>g(x).

e

1

(1)解易得g'(x)=-e+b=b-??.

e

-x1

若b=0,则g(x)=??∈(0,+∞),不合题意;

e

1

若b<0,则g(0)=1>0,g--x1

??=e-1<0,满足题意,

??1

若b>0,令g'(x)=-e+b=0,得x=-lnb.

∴g(x)在(-∞,-lnb)上单调递减;

在(-lnb,+∞)上单调递增,

则g(x)min=g(-lnb)=e-blnb=b-blnb≤0,

lnb∴b≥e.

综上所述,实数b的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞).

(2)证明易得f'(x)=?

??1

??, ??2

则由题意,得f'1e

=e-ae2=-e,解得a=e.

1e

2

∴f(x)=lnx+e??,从而f1e

2

=1,

即切点为

,1.

45

将切点坐标代入ex+y-2+b=0中,解得b=0.

∴g(x)=e-x.

要证f(x)>g(x),即证lnx+2

e??>e-x(x∈(0,+∞)), 只需证xlnx+2

>xe-xe

(x∈(0,+∞)).

令u(x)=xlnx+2

,v(x)=xe-xe

,x∈(0,+∞).

则由u'(x)=lnx+1=0,得x=1

e

,

∴u(x)在0,1

e上单调递减,

在1e

,+∞上单调递增,

∴u(x)11

min=ue

=e.

又由v'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0,得x=1,

∴v(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

∴v(x)=1

max=v(1)e.

∴u(x)≥u(x)min=v(x)max≥v(x),

显然,上式的等号不能同时取到. 故对任意的x∈(0,+∞),总有f(x)>g(x).

6.(2019安徽马鞍山模拟)已知函数g(x)=xln x,h(x)=????2-12

(a>0).(1)若g(x)

46

(2)证明:不等式1+1

2

1+2

2

…1+??2

3

??????的底数.

(1)解当x∈(1,+∞)时,g(x)2??ln??+1

??2

, 令F(x)=2??ln??+1

??2

(x>1),

F'(x)=2(??-1-??ln??)

??3

(x>1),

记m(x)=x-1-xlnx(x>1), 则m'(x)=-lnx<0,

∴m(x)在(1,+∞)上单调递减,∴m(x)

(2)证明由(1)知取a=1,

当x∈(1,+∞)时,g(x)

即xlnx

恒成立,即lnx

2??恒成立, 2

即ln(1+x)<(??+1)-1??2+2??2(??+1)

=

2(??+1)

对于x∈(0,+∞)恒成立,

由此,ln

1+??(

????2) 2+2(????2)1????2

<2(??=

1????2)+22??2

+

????2+??≤

2??2

+

????2+1

,k∈N*

,

于是ln

1+1

2??2

1+??2…1+????2

=ln1+12??2+ln1+??2+…+ln1+????2

47

<2

1

1

+??2+…+??2+??2+1+??2+1+…+??2+1 ??2

??(??+1)??(??+1)

+??2??2+1

12??12??=4=4·

1

2??3+2??2+??+1

??(??2+1)

??3-2??2+2??-1

=43-??(??2+1)1

??(??-1)+(??-1)

=43-??(??2+1)1

2

≤4,

3

3

故1+??2

1

1+??2…1+??2

B组 能力提升

2??7.(2019广东深中、华附、省实、广雅四校联考)已知函数f(x)=x-1-6e+1,其中e=2.718…为自然对数的底数,常数a>0.

(1)求函数f(x)在区间(0,+∞)上的零点个数;

(2)函数F(x)的导数F'(x)=(e-a)f(x),是否存在无数个a∈(1,4),使得ln a为函数F(x)的极大值点?请说明理由.

x??x解(1)f'(x)=x-6e,

当0

6

??x??当x>6时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

??所以当x∈(0,+∞)时,f(x)min=f??6

,

因为f

??6

0,

48

????

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