即f(x1)+f(x2)<2f??1+??2
2
.
-x5.已知函数f(x)=ln x+??,g(x)=e+bx,a,b∈R,e为自然对数的底数. (1)若函数y=g(x)在R上存在零点,求实数b的取值范围;
??(2)若函数y=f(x)在x=处的切线方程为ex+y-2+b=0.求证:对任意的x∈(0,+∞),总有f(x)>g(x).
e
1
(1)解易得g'(x)=-e+b=b-??.
e
-x1
若b=0,则g(x)=??∈(0,+∞),不合题意;
e
1
若b<0,则g(0)=1>0,g--x1
??=e-1<0,满足题意,
??1
若b>0,令g'(x)=-e+b=0,得x=-lnb.
∴g(x)在(-∞,-lnb)上单调递减;
在(-lnb,+∞)上单调递增,
则g(x)min=g(-lnb)=e-blnb=b-blnb≤0,
lnb∴b≥e.
综上所述,实数b的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞).
(2)证明易得f'(x)=?
??1
??, ??2
则由题意,得f'1e
=e-ae2=-e,解得a=e.
1e
2
∴f(x)=lnx+e??,从而f1e
2
=1,
即切点为
,1.
45
将切点坐标代入ex+y-2+b=0中,解得b=0.
∴g(x)=e-x.
要证f(x)>g(x),即证lnx+2
e??>e-x(x∈(0,+∞)), 只需证xlnx+2
>xe-xe
(x∈(0,+∞)).
令u(x)=xlnx+2
,v(x)=xe-xe
,x∈(0,+∞).
则由u'(x)=lnx+1=0,得x=1
e
,
∴u(x)在0,1
e上单调递减,
在1e
,+∞上单调递增,
∴u(x)11
min=ue
=e.
又由v'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0,得x=1,
∴v(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴v(x)=1
max=v(1)e.
∴u(x)≥u(x)min=v(x)max≥v(x),
显然,上式的等号不能同时取到. 故对任意的x∈(0,+∞),总有f(x)>g(x).
6.(2019安徽马鞍山模拟)已知函数g(x)=xln x,h(x)=????2-12
(a>0).(1)若g(x)
46
(2)证明:不等式1+1
2
1+2
2
…1+??2
3
??????的底数.
(1)解当x∈(1,+∞)时,g(x)
??2
, 令F(x)=2??ln??+1
??2
(x>1),
F'(x)=2(??-1-??ln??)
??3
(x>1),
记m(x)=x-1-