(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案: A.所有脐橙均以7元/千克收购;
B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购 请你通过计算为该村选择收益较好的方案.
解(1)由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.
∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.
记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,
则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:
A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,
7
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为.
10
(2)方案B好,理由如下:
由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.
若按方案B收购:
∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000(个),
脐橙质量不低于350克的个数为55000个,
37
∴收益为45000×2+55000×3=255000(元).
若按方案A收购:
根据题意各段脐橙个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000. 于是总收益为
(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150(元),
∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.
大题专项练(五) 函数与导数
A组 基础通关
1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f(x)=(x-2x+2)e-2ax(a∈R). (1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间; (2)证明:当a≤-2时,f(x)≥2.
2x1
2
(1)解当a=e时,f(x)=(x-2x+2)e-ex,
2
2x1
2
所以f'(x)=xe-ex=x(xe-e), 讨论:①当x<0时,xe-e<0,有f'(x)>0;
x2xx②当0 38 ③当x>1时,由函数y=xex为增函数,有xex-e>0,有f'(x)>0. 综上,函数f(x)的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1). (2)证明当a≤-2时,有-a≥1,所以-ax≥x, 2 2 11 22 所以f(x)≥(x-2x+2)e+x. 令g(x)=(x-2x+2)e+x,则g'(x)=xe+2x=x(xe+2). 令h(x)=xe+2,有h'(x)=(x+1)e. 令h'(x)=0,得x=-1. 分析知,函数h(x)的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1). xx2 2x2 x22xx所以h(x)min=h(-1)=2-e>0. 所以分析知,函数g(x)的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0), 所以g(x)min=g(0)=(0-2×0+2)×e+0=2, 故当a≤-2时,f(x)≥2. 2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为 ????10 3 2 0 2 1 +1(升),在水底作业10个单位 时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y(升). (1)求y关于v的函数关系式; (2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少. 解(1)由题意,得下潜用时??(单位时间), 39 60 用氧量为 ??3 60 3??210 +1×??= 50 +60 ??(升); 水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升); 返回水面用时60 120 ??= 2 ??(单位时间), 用氧量为 120 180 ??×1.5=??(升), ∴总用氧量y=3??2+ 240 50 ??+9(v>0). (2)y'=3??240 3(??3-2000)25???2= 25??2 , 令y'=0,得v=103 √2, 当0 2时,y'<0,函数单调递减, 当v>10√3 2时,y'>0,函数单调递增, ∴当0 2)上单调递减, 在(10√3 2,15)上单调递增, ∴当v=10√3 2时总用氧量最少, 当c≥10√3 2时,y在[c,15]上单调递增, ∴当v=c时总用氧量最少. 综上,若0 2, 则当v=10√3 2时总用氧量最少;若c≥10√3 2, 则当v=c时总用氧量最少. 3.(2019安徽淮北模拟)已知函数f(x)=????-1+ln x. 40