(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案: A.所有脐橙均以7元/千克收购;
B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购 请你通过计算为该村选择收益较好的方案.
解(1)由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.
∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.
记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,
则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:
A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,
7
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为.
10
(2)方案B好,理由如下:
由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.
若按方案B收购:
∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000(个),
脐橙质量不低于350克的个数为55000个,
37
∴收益为45000×2+55000×3=255000(元).
若按方案A收购:
根据题意各段脐橙个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000. 于是总收益为
(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150(元),
∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.
大题专项练(五) 函数与导数
A组 基础通关
1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f(x)=(x-2x+2)e-2ax(a∈R). (1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间; (2)证明:当a≤-2时,f(x)≥2.
2x1
2
(1)解当a=e时,f(x)=(x-2x+2)e-ex,
2
2x1
2
所以f'(x)=xe-ex=x(xe-e), 讨论:①当x<0时,xe-e<0,有f'(x)>0;
x2xx②当0
38
③当x>1时,由函数y=xex为增函数,有xex-e>0,有f'(x)>0.
综上,函数f(x)的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).
(2)证明当a≤-2时,有-a≥1,所以-ax≥x,
2
2
11
22
所以f(x)≥(x-2x+2)e+x.
令g(x)=(x-2x+2)e+x,则g'(x)=xe+2x=x(xe+2). 令h(x)=xe+2,有h'(x)=(x+1)e. 令h'(x)=0,得x=-1.
分析知,函数h(x)的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).
xx2
2x