大题专项练(一) 三角函数
A组 基础通关
1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且ccos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小;
(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 解(1)因为ccosB+(b-2a)cosC=0,
所以sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0, 所以sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC, 所以sin(B+C)=2sinAcosC. 又因为A+B+C=π, 所以sinA=2sinAcosC.
又因为A∈(0,π),所以sinA≠0,
所以cosC=1
2.
又C∈(0,π),所以C=π
3. (2)由(1)知,C=π
3,
所以c2
=a2
+b2
-2abcosC=a2
+b2
-ab. 又c=2,所以4=a2
+b2
-ab.
又a2
+b2
≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
1
所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S1△ABC)max=(1
2????sin??)
sinπ
max
=2×4×3=√3.
2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.
(1)若∠AMB=60°,求BC;
(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.
解(1)由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.
在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.
在△MBC中,由余弦定理,得BC2
=BM2
+MC2
-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2√3. (2)因为∠DCM=θ,
所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.
在Rt△MCD中,MC=1
sin??; 在Rt△MAB中,MB=2
sin(60°-??), 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sinθ,
所以√3cosθ-sinθ=sinθ, 即2sinθ=√3cosθ,
整理可得tanθ=√32.
2
3.已知向量m=(2acos x,sin x),n=(cos x,bcos x),函数f(x)=m·n-,函数f(x)在y轴上的截距为2,与y轴最近的最高点的坐标是(12,1). (1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x的图象,求φ的最小值.
√3π
√32
解(1)f(x)=m·n-2=2acosx+bsinxcosx-2,
√32
√3,得2
√3√32
√3由f(0)=2a-=
a=2,
此时,f(x)=2cos2x+2sin2x,
√3??3??由f(x)≤√4+4=1,得b=1或b=-1,
2
当b=1时,f(x)=sin(2??+3),经检验(12,1)为最高点;
ππ
当b=-1时,f(x)=sin(2??+
2π3
),经检验(12,1)不是最高点.
π
故函数的解析式为f(x)=sin(2??+3).
π
(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin2x+2φ+3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sinx+2φ+3的图象,
所以2φ+3=2kπ(k∈Z),φ=-6+kπ(k∈Z), 因为φ>0,所以φ的最小值为
5π6
π
π
π
π
.
4.函数f(x)=Asin(????+6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.
3
π
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=cos x·f(x),求g(x)在区间[-
π6
,]上的最大值和最小值.
4
π
解(1)由已知f(x)最小正周期为2π,
所以
2π
??=2π,解得ω=1.
因为f(x)的最大值为2, 所以A=2,
所以f(x)的解析式为f(x)=2sin(??+6).
π
(2)因为f(x)=2sin(??+6)=2sinxcos6+2cosxsin6=√3sinx+cosx,
πππ
所以g(x)=cosx·f(x)=√3sinxcosx+cosx=2sin2x+π
1
2
√31+cos2??2
=sin(2??+6)+2.
π
π
π
π
2π3
因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤
, 于是,当2x+6=2,即x=6时,g(x)取得最大值2;当2x+6=-6,即x=-6时,g(x)取得最小值0. 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:
πππ3πππ
x -4 0 ??0 ??6 ??40 ??2 3?? 40 y 1 1 2-1
4