2019-2020学年度最新数学高考江苏专版二轮专题复习训练：6
个解答题综合仿真练（三）-含解析综合仿真练(三)
1．已知向量m＝(3cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)． π
(1)当x＝时，求m·n的值；
3
π310，?，且m·(2)若x∈?n＝－，求cos 2x的值． ?4?32π?3，－1?，n＝?3，1?，
解：(1)当x＝时，m＝
3?2??24?311
所以m·n＝－＝.
442(2)m·n＝3cos xsin x－cos2x＝若m·n＝π1311
2x－?－， sin 2x－cos 2x－＝sin?6?2?222
π13131
2x－?－＝－， －，则sin?6?232?32
π32x－?＝， 即sin?6?3?
ππππ0，?，所以－≤2x－≤， 因为x∈??4?663π62x－?＝， 所以cos?6?3?
?2x－π?＋π?＝cos?2x－π?×cosπ－sin?2x－π?sinπ＝6×3－3×1＝则cos 2x＝cos?6?6?6?6?63????6232
32－3. 6
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：AB∥EF；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF. 证明：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又因为AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC.
又因为AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF.
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(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD.
又AF?平面PAD，所以AB⊥AF. 又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.
3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.
(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域； (2)求时间T最短时cos θ的值．
解：(1)如图，过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，
AEEFOG11
OF＝＝，EF＝1＋，AE＝θ，所以T(θ)＝＋＝sin θsin θsin θ5v6vπ3π?θ11
＋＋，θ∈??4，4?. 5v6vsin θ6v
π3π?θ11(2)由(1)知，T(θ)＝＋＋，θ∈??4，4?， 5v6vsin θ6v6sin2 θ－5cos θcos θ1T′(θ)＝－＝
5v6vsin2θ30vsin2 θ?2cos θ＋3??3cos θ－2?
＝－，
30vsin2 θπ3π?2
记cos θ0＝，θ0∈??4，4?， 3
则T(θ)，T′(θ)随θ的变化情况如表所示：
θ T′(θ) T(θ) 2故当cos θ＝时，时间T最短．
3
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?π，θ0? ?4?－ θ0 0 极小值 ?θ0，3π? 4??＋ x2y2
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋2＝8b1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
AT·BT
的值； MN2―→2―→
(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP＝TM，求直线l的斜率k.
5x2y2
解：(1)因为椭圆C：＋2＝1经过点(b,2e)，
8bb24e2
所以＋2＝1.
8b
c2c2b2c2
因为e＝2＝，所以＋2＝1，
a882b
2
228－bb
又a2＝b2＋c2，＋2＝1，
82b
解得b2＝4或b2＝8(舍去)． x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
84(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
??y＝k?x－1?，
联立直线l与椭圆方程?x2y2消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
??8＋4＝1，
2k2－84k2
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. 2k＋12k＋1
因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，
??y＝kx，8
联立直线MN与椭圆方程?x2y2消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝2.
2k＋1??8＋4＝1，
?x2－1?AT·BT?1－x1?·
因为MN∥l，所以＝，
MN2?xM－xN?2因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝
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73222
，(x－x)＝4x＝. MN
2k2＋12k2＋1
2k2＋17AT·BT7
所以＝×＝.
MN22k2＋13232
(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)， ―→―→
从而AP＝(－x1，－k－y1)，TM＝(x2－1，y2)， 2―→2―→
∵AP＝TM，∴－x1＝(x2－1)，
5522即x1＋x2＝，①
55由(2)知x1＋x2＝
，②
2k＋1
2
4k2
联立①②得x1＝，x2＝. 3?2k2＋1?3?2k2＋1?2k2－8
又x1x2＝2，
2k＋1∴50k4－83k2－34＝0， 17
解得k2＝2或k2＝－(舍去)．
50又因为k＞0，所以k＝2. 5．定义：从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列．
1111
(1)求数列1，，，，的等比子列；
2345
(2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1. ①试给出一个{an}，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)； ②若{an}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．
解：(1)显然从数列中抽取四项或五项时，不存在等比子列，当抽取三项时，设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k(1≤k≤3，k∈N*)，
当k＝2时，
1111111①设n，，m成等比数列，则＝×，即m＝n＋n＋2, n＋1?n＋1?2nm11
当且仅当n＝1时，m∈N*，此时m＝4，所求等比子数列为1，，；
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－4k2＋216k2－2