结论，省略了概念原有的逻辑加工过程，也正是这种高度的抽象，数学常常给人一种单调、枯燥、乏味、难懂的错觉。事实上中学数学中的每一个概念都有其原始的直观的模型，都有其来龙去脉，可以让学生先由感性认识再进入理性认识，完整、和谐地理解概念，记忆概念。利用数形结合思想，就是对概念的数与形的两种形式进行表述，揭示知识的实质，沟通数学知识之间的内在联系，使学生对概念不仅仅流于表面文字的理解及记忆，而是真正理解概念的本质属性。
(2) 有助于拓展学生寻找解决问题的途径。数形结合作为一种思维策略，虽然不一定能作为题目的解法，但常可以作为寻求解法的一个思路，或在思路受阻时寻求出路的突破口，所以这又是数形结合这种思维策略的另一面积极意义。
(3) 有助于学生数学思维能力的发展。数学思维和思维能力的培养是数学教学改革的核心问题，进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃，但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式。我国著名科学家钱学森说:“我建议把形象思维作为思维科学的突破口。因为它一旦搞清楚之后，就把前科学的那一部分，别人很难学到的那些科学以前的知识、即精神财富，都可以挖掘出来。这将把我们的智力开发大大地向前推进一步。人们在交往中，很多是用形象思维，而不是用抽象思维的。”[3]可见形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的，也是很重要的。数学学科是统一的一体，其组织的活力依赖于各个部分之间的联系[7]，所以在高中数学教学中形象思维和抽象思维的培养应该是平行发展，即在同一个思维活动中，形象思维和逻辑思维同时存在，且相互间进行不断地切换和互译，只有两者的协同活动，才能完成高级的思维过程。从认知方式来看，学生往往也比较习惯从形象思维入手，而用抽象思维收尾。而数形结合思想方法，始终从“形”“数”两个角度来剖析问题，函数与图象，曲线与方程，空间图形等许多内容，无不渗透着数形结合的思想方法。因此在中学数学教学中重视数形结合，既是学生掌握解决问题的一种手段，又能加深学生对有关数学问题实质的认识，起到培养学生思维的形象性和创造性的双重功效。
(4) 利用数形结合，唤起学生对数学美的追求。数和形本是两家，先在宏观上结合，又通过建立坐标系，同构对应竟然合为一家，充分体现了数学的统一美。数学本身就是一门美的科学，数学上的对称美、轮换美、简洁美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人。利用数形结合能培养学生审美情趣，经受审美体验，提高审美意识和审美能力，以激励起学生学好数学的激情，动力和追求解题的艺术美，促进人的素质全面提高。
2.3.2 数形结合思想在高中数学教学的应用举例
数形结合在具体运用中包含了“以形助数”和“以数助形”两个方面，从高中数学内容
上看，它主要用于集合、不等式、函数、三角函数、线性规划、解析几何等几类。本文选取几类进行具体分析。
一、数形结合在不等式中的应用
有些不等式问题,当用代数方法讨论较繁时,利用图形将代数问题转换成几何问题,合几何知识探求,也是一种解决的方法。
例2.3.1 已知x1，x2，y1，y2均为实数，求证：
22（x1?x2）?（y1?y2）?x12?y12?x22?y22。
［解析］如图．由x1，x2，y1，y2确定的点M1(x1,y1)和M2(?x2,?y2)
y M1 M2 o 图2.3.1 x
22 则M1M2?（x1?x2）， OM1?OM2?x12?y12?x22?y22 ?（y1?y2） 在△M1OM2中，因为M1M2?OM1?OM2，
22所以（x1?x2）?（y1?y2）?x12?y12?x22?y22 [点评]在求证不等式时，学生的第一反应是用作差法或比较法。在解这道题时，也会想到由于等式两边都大于0，可以将两边平方再化简。但显然将不等式的数量关系转换为在直角坐标系中，再利用三角形两边之和大于第三边的性质，解题要更为简洁。所以，可以对学生进行适当的引导，扩展学生的解题思维。
例2.3.2 x?3?x?4?a的解集为空集，则实数a的取值范围（ ）。 A.a?1 B.a?1 C.a?7 D.1?a?7
[解析]构造函数: f(x)?x?3?x?4和g(x)?a,要使x?3?x?4?a的解集为空集，只需f(x)的图象比g(x)的图象高即可，由图可知：a?1。
y 8 6 4 2 O -2 5 图2.3.2 x
[点评] 这道题目是已知不等式的解集求参数，是考察不等式解法的逆向运用。解这道题的一般思路是对a进行分类讨论，去绝对值再多次解不等式，出错机会大，花费时间多。如果应用函数图形解则既简洁又直观。
二、数形结合在函数中的应用
函数是考查数形结合思想的良好载体，对函数的图象除了要求熟练掌握常见的函数图象外，还应加强对函数与方程、函数与曲线的区别与统一，善于发现条件的几何意义，刻画出相应的图形，还要根据图形的性质分析数学式的几何意义，这样才能巧妙地利用数形结合解决问题[8]。
x?R，例2.3.3 若函数y?f(x)，满足f(x?2)?f(x)，且当x?(?1,1]时，f(x)?x，
则函数y?f(x)的图象与函数y?log3x的图象的交点的个数为( )。
A.2 B.3 C.4 D.无数个
[解析] 因为f(x?2)?f(x)，所以周期T?2，当x?(?1,1]时，f(x)?x，故可以作出
y?f(x)的图象；当x?0时，y?log3x与f(x)?x有两个交点（如图）。又y?log3x与f(x)?x都为偶数，故当x?0时，也有两个交点。故选C。
y -1 O 1 2 3 图2.3.3 x
[点评]该题的解题思路较为单一，一般都是直接借助图象进行分析解答。
三、数形结合在线性规划中的应用
线性规划问题纳入高中数学必修内容后，由于其内容是多个知识的交汇点，融数、形于一体，题型多，综合性强，为数形结合思想方法提供了更为广阔的空间。
例2.3.4 若二次函数y?f(x)的图象过原点，且1?f(?1)?2，3?f(1)?4，求f(?2)的取值范围。
[解析] 因为y?f(x)的图象过原点，所以设y?f(x)?ax2?bx(a?0) 所以f(?1)?a?b，f(1)?a?b，得线性约束条件
?1?a?b?2其可行域如图所示： ?3?a?b?4?所以f(?2)?4a?2b，取目标函数z?4a?2b，由图可知：当直线L:z?4a?2b过点
A(2,1)时，zmin?6，当直线过点B(3,1)时，zmax?10，所以6?f(?2)?10
y 4a?2b?0 a?b?1
a?b?2 O a?b?4 x a?b?3 L 图2.3.4
[点评] 对于某些线性规划与函数有关的问题,若善于利用已知条件构造线性约束条件,将问题转化为线性规划问题求解,有时能起到事半功倍的效果。同时，在解这类题时，要注意所作的图形必须较为精确！
四、数形结合在解析几何中的应用
例2.3.5 从原点向圆x2?y2?12y?27?0作两条切线，切点间的劣弧长为( )
? B ?.2C ? A..D4? [解析] 将圆的方程配方得：x2?(y?6)2?9，则圆心在(0，6)，半径为3，如图所示。