线性代数第一章课后习题答案

充分性:设A、B、C两两相互独立,且A与BC独立. 于是有

P(AB)?P(A)P(B)P(BC)?P(B)P(C)P(AC)?P(A)P(C)P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C)

由定义知A、B、C相互独立,从而充分性成立。

3.设A、B独立,AB?D,AB?D,证明:P(AD)?P(A)P(D). 证明:因为AB?D,AB?D,D?A?B

AD?AB?DB

P(AD)?P(AB)?P(DB)而P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(DB)

P(DB)?P(A)P(DB)

?P(AD)?P(AB)?P(DB) ?P(A)P(B)?P(DB) ?P(A)P(DB)?P(A)P(DB)

?P(A)[P(DB)?P(DB)]?P(A)P(D)

于是 P(AD)?P(A)P(D)

4.从5双不同的鞋子中任取4只,求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.

解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”

A表示“4只鞋子均不成双”

4样本点的总数为P10,

A的样本点为10?8?6?4(因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法,

第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法,第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法,第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法)

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P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?

10?9?8?7214解法二 样本点的总数为C10,

4A的样本点为C5?24(因为从5双中任选4双,再从每双中任意取一只)

C54?2413P(A)?1?P(A)?1?? 421C105.4张卡片标着1到4,面朝下放在桌子上,一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码,如果他是冒充者而只是随机地猜一下,他至少猜中一个的概率p是多少?

解:A表示“至少猜中一个’

A表示“4个全部猜错” P(A)?1?P(A)?1?3?3?15? 4!86.一袋中装有N?1只黑球1只白球,每次从袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球,这样继续下去,问第k次摸球时,摸到黑球的概率是多少?

解:设A表示“第k次摸球时,摸到黑球”

A表示第k次摸球时,摸到白球”

因为袋中只有一只白球,而每次摸到白球时换入一只黑球放入,故为了第k次摸到白球,则前k?1次一定摸到的是黑球

(N?1)k?1?1?1?故P(A)??1???NNk??k?11 Nk?11??于是所求概率为P(A)?1?P(A)?1??1???N?1 N7.设B、C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数,求方程

x2?Bx?C?0有实根的概率p和有重根的概率q.

解:一枚骰子接连掷两次,样本点总数为36,方程组有实数根的充分必要条

B2件为B?4C即C?

42注意到

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B B2使C?的样本点个数 4B2使C?的样本点个数 41 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 0 1 0 1 0 0 由此可见,方程x2?Bx?C?0有实根的概率p?方程x2?Bx?C?0有重根的概率为q?1 1819 368.随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内扔一个点,点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率. 4(x,y)应该落在如图的阴影部解:以D表示半圆0?y?2ax?x2,由题设,点

分G,G的面积为(在极坐标系中计算)

?S(G)??4d??02acos?0?1rdr??4?r20?2?2?2acos?0??d? ???2a2?40cos?d??a2?40??1?(1?cos2?)d?????a2

?42?1个圆的面积) 4(或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上

y D G x

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??1?2???aS(G)?42?11??? 故P(A)?12S(D)2??a29.设0?P(A)?1,0?P(B)?1,证明:A、B独立?P(A|B)?P(A|B)?1. 证明:P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(AB)

?P(AB)P(AB)??P(AB)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) P(B)1?P(B)?P(AB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P(A)?A、B独立

10.设第一只盒子中装有3只兰球,2只绿球,2只白球;第二只盒子中装有2只兰球,3只绿球,4只白球,独立地分别在两只盒子中各取一只球.

(1)求至少有一只兰球的概率; (2)球有一只兰球一只白球的概率;

(3)已知至少有一只兰球,求有一只半求一只白球的概率. 解:设Ai={从第i只盒子中取得一只白球}i?1,2

Bi={从第i只盒子中取得一只蓝球}i?1,2 由题设在不同盒子则取球是相互独立的 (1)所求的概率为

P(B1?B2)?P(B1)?P(B2)?P(B1B2) ?P(B1)?P(B2)?P(B1)P(B2)

?32325???? 79799(2)因为B1B2??,则(B1A2)(B2A1)?? 所求的概率为

P(B1A2?B2A1)?P(B1A2)?P(B2A1) ?P(B1)P(A2)?P(B2)P(A1)

?342216???? 79976328

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