1．(2014·华东师大附中模拟)如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，→→→→→→→→BD的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )． A．①② B．③④ C．①③ D．①④
→→→→
解析 ①中AD与AB不共线，可作为基底；②中DA与BC为共线向量，不可作为→→→→
基底；③中CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；④中OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C. 答案 C
→
2．(2014·揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为( )．
A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)
→
解析 设点B的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)． →?x＋1＝6，?x＝5，由AB＝3a，得?解得?
y－5＝9，y＝14.??答案 D 3.
→→→→→
如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝x OA＋y OB，且BP＝2 PA，则( )．
2112
A．x＝3，y＝3 B．x＝3，y＝3 1331
C．x＝4，y＝4 D．x＝4，y＝4 →→→→→→→2→→2→
解析 由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2 PA，所以OP＝OB＋3BA＝OB＋3(OA－
→2→1→21OB)＝3OA＋3OB，所以x＝3，y＝3. 答案 A
4．(2013·惠州模拟)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝( )． A．2 B．－2 C．－3 D．3
解析 a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)×(m＋1)－2×1＝0，解得m＝－3. 答案 C
→→5．(2014·许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中→→→
点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于( )． A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21)
→→→→→→
解析 BC＝3 PC＝3(2 PQ－PA)＝6 PQ－3 PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案 B 二、填空题
11
6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则a＋b的值为________． →→
解析 AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)， 依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 111
即ab－2a－2b＝0，所以a＋b＝2. 1答案 2
→→→
7．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(0，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
→→
解析 由题意得AB＝(－3,1)，AC＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，→→5则AB，AC不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠4.
5
答案 m≠4 1
8．(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝→→→2
3BC.若DE＝λ1 AB＋λ2 AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． →→→1→2→1→2→→1→2→
解析 DE＝DB＋BE＝2AB＋3BC＝2AB＋3(BA＋AC)＝－6AB＋3AC，所以λ1＝12－6，λ2＝3， 1
即λ1＋λ2＝2. 1答案 2 三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
法一 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
?k－3＝10λ，1?解得k＝λ＝－3， ?2k＋2＝－4λ.
1
∴当k＝－3时，ka＋b与a－3b平行， 11
这时ka＋b＝－3a＋b＝－3(a－3b)． 1
∵λ＝－3<0，∴ka＋b与a－3b反向． 法二 ∵ka＋b与a－3b平行，
1
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－3， 2?1?1
此时ka＋b＝?－3－3，－3＋2?＝－3(a－3b)．
??
1
∴当k＝－3时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
→→→
10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1 OA＋t2 AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
→→→
(1)解 OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象?4t2＜0，限时，有?
?2t1＋4t2≠0，
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0， →
(2)证明 当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2)． →→→
∵AB＝OB－OA＝(4,4)，
→→→→AM＝OM－OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 AB， →→
∴AM与AB共线，又它们有公共点A， ∴A，B，M三点共线．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2013·保定模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )． A．30° B．60° C．90° D．120° 解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 整理得b2＋a2－c2＝ab，
a2＋b2－c21由余弦定理得cos C＝2ab＝2， 又0°