第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
[最新考纲]
1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知 识 梳 理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
2a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1＋y21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→→
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0. 辨 析 感 悟
1．对平面向量基本定理的理解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．
(×)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√) (3)(2013·广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误： ①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c.
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；(√)
(√)
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc； (√) ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc. (×) 2．平面向量的坐标运算
→
(4)(教材习题改编)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则AB＝(－3,2)．
(√)
2
2
x1y1(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x＝y.
(×)
(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为－4.
[感悟·提升]
→1．向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，→
但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA＝(x，y)．
→→→→→
当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA＝(x，y)，但O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0，如(5).
考点一 平面向量基本定理的应用
→
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM
(√)
→→→＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.
→→
解 法一 设AB＝a，AD＝b， →→?1?
则a＝AN＋NB＝d＋?－2b?，①
??→→?1?
b＝AM＋MD＝c＋?－2a?.②
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