(课标通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2函数的单调性与最值学案理

单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). [题点发散1] 若将本例(2)中函数变为“f(x)=|-x+2x+1|”,如何求解? 解:函数y=|-x+2x+1|的图象如图所示.

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由图象可知,函数y=|-x+2x+1|的单调递增区间为(1-2,1)和(1+2,+∞); 单调递减区间为(-∞,1-2)和(1,1+2).

[题点发散2] 若将本例(2)中函数变为“f(x)=-x+2|x|+1”,如何求解? 解:由-x+2|x|+1≥0,得1-2≤|x|≤1+2,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+2, 即-1-2≤x≤1+2.

根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-2,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+2 ].

[点石成金] 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法

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[提醒] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分

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别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

2.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域.

(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),

u=g(x).

(3)分别确定这两个函数的单调区间.

(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.

[2017·天津模拟]函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0

?1?A.?0,? ?2?

B.[a,1]

?1?C.(-∞,0)∪?,+∞? ?2?

D.[a,a+1 ] 答案:B

?1??1?解析:由图象知f(x)在(-∞,0]和?,+∞?上单调递减,而在?0,?上单调递增.又

?2??2?

0

2?2?

考点3 函数单调性的应用

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函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有________; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意的x∈I,都有________; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 条件 结论 M为最大值 M为最小值 答案:(1)f(x)≤M (3)f(x)≥M

[考情聚焦] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题的某一问中.

主要有以下几个命题角度: 角度一

利用函数的单调性求最值

1??,x≥1,

[典题3] (1)函数f(x)=?x??-x2+2,x<1[答案] 2

1

[解析] 当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)

的最大值为________.

x=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.

(2)已知函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数). ①当a=1时,求函数y=f(x)的值域;

②求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x)取得最值时x的值.

1

[解] ①当a=1时,f(x)=2x-,任取1≥x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-

2

axx?1-1?=(x-x)?2+1?. ?x1x2?12?????x1x2?

∵1≥x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0.

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∴f(x1)>f(x2),

∴f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,

当x=1时取得最大值1,所以f(x)的值域为(-∞,1]. ②当a≥0时,y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值, 当x=1时取得最大值2-a; -a当a<0时,f(x)=2x+,

x当

-≥1,即a∈(-∞,-2]时,y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=12

a时取得最小值2-a,

-<1,即a∈(-2,0)时,y=f(x)在?0,2?

a?

- ?上单调递减,在?2??

a??

-,1?上

2?

a?

单调递增,无最大值,

当x=角度二

比较两个函数值或两个自变量的大小

[典题4] [2017·黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当

-时取得最小值2-2a. 2

ax2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f?-?,b=f(2),c=f(e),则a,b,

2c的大小关系为( )

A.c>a>b C.a>c>b [答案] D

[解析] 因为f(x)的图象关于直线x=1对称.

B.c>b>a D.b>a>c

?1???

?1??5?由此可得f?-?=f ??. ?2??2?

由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减. 5?5?∵1<2<f??>f(e), 2?2?∴b>a>c. 角度三

利用函数的单调性求解不等式

[典题5] f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是( )

A.(8,+∞)

B.(8,9]

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