????b??q???c??q???0,??1,2?S ?a??q???1S把q??A?e?t代入上式得本征值方程
a????b????c??2??1,2?S ?0??1,2?S在V?0，F2?4VT的小阻尼情况下，本征值?l??l?i?l?l?1,2?2S?，且?l?0振动方程为
q???e??ltA?l??l?1S????li??i?l?ei?lt?A?l??i???l?i?l?e?i?lt???1,2?S?
?显然是按指数率的衰减振动。
5.9答：因L?L?q?,q??,t?,???1,2,....s?，故
s??L??L?L?L
??????dL???dq?dq?dt?pdq?pdq?dt??????????q???q?t??1???1???ts由p???L解得 ???q???1,2,.....s?
??q??q??q?,p?,t?,????1,2,....s????所以
???q?,p?,t?,t?? I?q?,p?,t??L??q?,q则
??L??L?L??dI???dq?dqdt?dL ??????q???q??1????ts而
s??I?L?L?q?L ?????????q??q??q??q???1?q5.10答：拉格朗日方程只适用于完整系，哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能适用于完整的，保守的力学体系，对非保守体系（5.3.18）改写为
d??T???dt???q其中Q?为非有势力，或写为
??T?V?????Q?,???1,2...s? ??q?q???d??L???dt???q??L ????q?Q?,???1,2....s???即p???Q??方程
?L。经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则?q??H??q????p,?? ??H?p?????Q?,???1,2...s???q??5.11答：若哈密顿函数不显含时间t，则H?H?q?,p???常熟；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则H?T?V,是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时H并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若H含t则H是能量但不为常熟。 5.12答：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若????p?,q?,t?,????p?,q?,t?,???1,2...s?，则
????,??????s????????p??q???1??q??p??? ?????,H?是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程
????p?,H?,q????q?,H?,???1,2...s? p用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，这种表示法在量子力学，量子场论等课程中被广泛应用。
每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程=积分
??p?,q?,t??C1,??p?,q?,t??C2
可以推出另外一个积分??,???C3，这一关系称为泊松定理。
5.13 答：哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的S维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。
因为对等时变分?t?0，故变分符号?可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分
?t?0，故全变分符号不能这样。
5.14答：力学体系的哈密顿函数H中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系（或参变数）的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数H*，使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数的选取，其选取的原则是使H*中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具体分析。
5.15答：哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿—雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷，通过一个特殊的正则变换，使得用新变量
P?,Q?,(??1,2.....s)表示的哈密顿函数H*?0，此时P?,Q?全部为常数
?i,?i,(i?1,2...s)，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。
5.16答：对（5.9.8）式若为不稳定约束，只需以h代替E即可，故对（5.9.8）式分离变量后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不稳定约束。正则方程利用哈—雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。
5.17答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论与方法难以建立与其它学科的联系。
5.18答：十九世纪发展起来的“分析力学‘方法弥补了上述缺陷，它用纯数学分析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。
下面通过分析力学与牛顿力学理论及方法的比较扼要阐述分析力学的优越性。 牛顿力学的着眼点是力，实际力学体系除受到促使其运动状态改变的主动力，往往还存在很多限制其运动的约束条件体现这些约束的约束反作用力都要作为未知数出现于运动微分方程，使未知量增加给解算带来许多麻烦；分析力学着眼于功和能在一定条件下，常常可以不考虑约束反作用力。如在理想条件下，用虚位移原理解决力学体系的平衡问题可撇开众多的未知未知约束力，直接得出平衡条件，比用牛顿力学中刚体受力的平衡方程方便得多；达朗伯——虚位移原理解决力学体系的动力学问题，由于虚功的概念、广义坐标的引入，也可撇开约束力得解，比用牛顿方程即由此推出的动量定理，动量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密顿原理即由此得到的分析力学一系列方程均具这一优点。从一分为二的观点来看，这也是分析力学的缺点——不能求出约束反作用力。当把待求的约束反力或做功的约束反力作为主动力来看，分析力学的理论修改后仍能应用。
牛顿力学用矢量的方法研究力学体系的运动，着眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相对性，在坐标变换中很费事，故牛顿力学的动力学方程都与参考系极坐标系的选取有关；分析力学用标量描述力学体系的运动及变化规律，着眼于功和能广义坐标和
广义速度等一系列标量，标量便于变换及叠加，标量形式的运动方程也是便于写出的，且由于广义坐标和广义力的引入，是指超出立宪的范围也能应用，给参变量的选用也带来了许多方便，提高了灵活性。如用拉格朗日方程，哈密顿原理或哈密顿正则方程推证极坐标系，球坐标系的质点运动方程，比用牛顿力学的方法简便，但分析力学不如牛顿力学方法直观物理意义也不如牛顿力学方法清晰。
牛顿力学的动量守恒定律动量矩守恒定律总是以牛顿第三定律为先决条件的；而分析力学中循环坐标对应的广义动量守恒原理并不以牛顿第三定律为先决条件，其先决条件是拉格朗日函数或哈密顿函数中不含某广义坐标。若拉格朗日函数中不含某广义坐标，则对应于拉格朗日动力学的广义动量守恒；若哈密顿函数中不含某广义坐标，则对应于哈密顿动力学的广义动量守恒。牛顿动力学的动量守恒定律，动量矩守恒定律都是广义动量守恒原理对应的某循环坐标下的特例。恩西力学的理论更具有概括性，广义动量守恒原理具有更普遍的意义。
牛顿力学研究力学问题也用到共和能的概念，但其功能关系动能定理，功能原理，机械能守恒定律等，只不过提供了力学体系运动的某一方面特征，它的注意力集中于实际实现，而在实际实现的运动中，功能关系只能给出一个独立的方程不能提供完全的解；分析力学则不然，它不只是注意实际实现的运动，而是以力学体系的一切可能存在的运动中挑选出真实的运动，故分析力学中的功能关系指的是一切可能出现的运动中的功能关系，比实际实现的运动中的功能关系要丰富的多，它可以给出一组与力学体系自由度数相等的运动方程，足以确定体系的运动。如用牛顿力学中的功能关系——机械能守恒定律研究抛体运动（不计空气阻力），只能给出一个独立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程则可以给出与自由度数相等的两个独立的运动方程，足以解决其运动。
牛顿力学机械能守恒定律中的势能对应于所有的势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同。再者，分析力学中哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下
H?T2?T0?V并非机械能，成为广义能量，只有在稳定的约束情况下H?T?V才是机
械能。故牛顿力学的机械能守恒定律要求有势力，而哈密顿函数的守恒原理要求H不显含t且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的。分析力学的广义能量守恒比牛顿力学的机械能守恒有着更广泛的意义。
牛顿力学定律不便于与其它形式的运动建立直接的联系，分析力学着眼于能量，便于进一步考虑能量的量子化问题，为从经典力学向近代物理学及其它领域过渡提供了方便的“跳板”。如哈密顿——雅可比方程量子化得到的薛定谔方程，哈密顿正则方程量子化得到量子力学的海森堡方程，经典泊松括号考虑量子化效应得到量子力学的泊松括号；哈密顿原理推广到量子力学的变分原理等。再者，能量便于与其运动形式转化，由于广义坐标概念的引入使得一系列分析力学的方程都适用于非力学体系；另外，分析力学是在多维的非欧几得