第五章思考题
5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，?a不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?
5.3广义动量pa和广义速度q?a是不是只相差一个乘数m？为什么pa比q?a更富有意义？ 5.4既然
?Td??T是广义动量，那么根据动量定理，??a?q??dt???q?是否应等于广义力?a？为什么???在拉格朗日方程?5.3.14?式中多出了吗？
?T项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量?qa 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式?5.3.13?得出式
?5.3.14?？
5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么2s2个常数只有2s个是独立的？
5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？
5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL和dL有何区别？
?L?L和有何区别？ ?qa?qa 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？
5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？
5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号?可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号?能否这样？
5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？
5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.
5.16正则方程?5.5.15?与?5.10.10?及?5.10.11?之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？
5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？
5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.
第五章思考题解答
5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的
??功，它与真实的功完全是两回事.从?W??Fi??ri可知：虚功与选用的坐标系无关，这
i正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.
虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.
5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，??不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故??不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故??不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.
广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以
是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由
s???Fi??ri?????q???W知，???q?有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲ni?1??1则可得到另一个量的量纲.若q?是长度，则??一定是力，若??是力矩，则q?一定是角度，若q?是体积，则??一定是压强等.
5.3 答 p?与q??不一定只相差一个常数m，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能T?坐标，则qy?y?，而py?1?2?y?2?z?2)，若取y为广义m(x2?t??mq?y，相差一常数m，如定轴转动的刚体的动能?my?yT?1?2，取广义坐标?t??相差一常数——转动惯量I，q???，而P??I???I??,p?与q?2??1?2?r2??2)，若取q???m(r2，
又如极坐标系表示质点的运动动能T??，而????qp???t?T?，二者相差一变数mr2；若取q?r有q，而?,二者???mr2?p??mr?r?rr???r??相差一变数m.在自然坐标系中T?12，取
?s?s??v，而ps?ms?，二者?q??s，有qms2相差一变数m.从以上各例可看出：只有在广义坐标为长度的情况下，p?与q??才相差一常数;在广义坐标为角量的情形下，p?与q??相差为转动惯量的量纲.
??更富有物理意义呢？首先，p?对应于动力学量，他建立了系统的状态函p?为何比q数T、L或H与广义速度、广义坐标的联系，它的变化可直接反应系统状态的改变，而q??是对应于运动学量，不可直接反应系统的动力学特征；再者，系统地拉格朗日函数L中不含某一广义坐标qi时，对应的广义动量pi??L?常数，存在一循环积分，给解决问题带??qi来方便，而此时循环坐标qi对应的广义速度q?i并不一定是常数，如平方反比引力场中
?L1k2m，不含，故有22?2??常数,但q?常数；最????p???mr????r??LL?mr???2r??后，由哈密顿正则方程知p?,q?是一组正则变量:哈密顿函数H中不含某个广义坐标qi时，对应的广义动量pi?常数，不含某个广义动量pi时，对应的广义坐标qi?常数
5.4答只有对于完整系，广义坐标数等于自由度数，才能消去所有的约束方程，式（5.3.13）
??d?T???T??Q???q???0 ?????dt?q????q???1????S各?q?才能全部相互独立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只适用于完整系，非完整力学体系，描述体系的运动需要的广义坐标多于自由度数，各?q?不全部独立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式结合拉格朗日方程未定乘数法可用于非完整系。
5.6 答 力学体系在平衡位置附近的动力学方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式a???2?C???0，其中?,??1,2?S，久期方程的各根（本征值）?l的性质决定体系平衡位置附近的小振动性质。
因从本征方程（5.4.6）式中可求出2S个的本征值?l（l?1,2?2S），每一个?l对应一个独立的常数故2S2个常数中只有2S个是独立的。
5.7答多自由度体系的小振动，每一广义坐标对应于S个主频率的谐振动的叠加。若通过坐标间线性变换使得每一广义坐标仅对应一个频率的振动，则变换后的坐标称之为简正坐标，对应的频率为简正频率，每一简正坐标对应一个简正频率，而简正频率数和力学体系的自由度数相等，故简正坐标数等于自由度数。
值得说的是，每一简正振动为整个力学体系所共有，反映的是各质点（整体）的振动之一，其他坐标都作为简正坐标的线性函数，由S个简正振动叠加而成。这种方法在统计物理，固体物理中都有运用。
5.8答对一完整的稳定的力学体系在有阻尼的情况下，它们在平衡位置附近将作衰减运动。
1S引入耗散函数F??b??q??q??
2?,??1则阻力
S?F?? R??????b??q???q??1力学体系的运动方程改为
d??T???dt???q??T?V?F ???????q???q??q??1S1S其中T??a??q??q??，V??C??q??q??，F中是的函数，把在平衡位形区域展开成
2?,??12?,??1泰勒级数
??b??b????b???0????r?1??qrS? ??qr?高级项
?0qr很小，只保留头一项，则a??,b??,c??均为常数。T,V,F代入运动方程得
????b??q???c??q???0,??1,2?S ?a??q???1S把q??A?e?t代入上式得本征值方程
a????b????c??2??1,2?S ?0??1,2?S在V?0，F2?4VT的小阻尼情况下，本征值?l??l?i?l?l?1,2?2S?，且?l?0振动方程为
q???e??ltA?l??l?1S????li??i?l?ei?lt?A?l??i???l?i?l?e?i?lt???1,2?S?
?显然是按指数率的衰减振动。
5.9答：因L?L?q?,q??,t?,???1,2,....s?，故
s??L??L?L?L
??????dL???dq?dq?dt?pdq?pdq?dt??????????q???q?t??1???1???ts由p???L解得 ???q???1,2,.....s?
??q??q??q?,p?,t?,????1,2,....s????所以
???q?,p?,t?,t?? I?q?,p?,t??L??q?,q则
??L??L?L??dI???dq?dqdt?dL ??????q???q??1????ts而
s??I?L?L?q?L ?????????q??q??q??q???1?q5.10答：拉格朗日方程只适用于完整系，哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能适用于完整的，保守的力学体系，对非保守体系（5.3.18）改写为
d??T???dt???q其中Q?为非有势力，或写为
??T?V?????Q?,???1,2...s? ??q?q???d??L???dt???q??L ????q?Q?,???1,2....s???即p???Q??方程
?L。经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则?q??H??q????p,?? ??H?p?????Q?,???1,2...s???q??5.11答：若哈密顿函数不显含时间t，则H?H?q?,p???常熟；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则H?T?V,是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时H并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若H含t则H是能量但不为常熟。 5.12答：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若????p?,q?,t?,????p?,q?,t?,???1,2...s?，则
????,??????s????????p??q???1??q??p??? ?????,H?是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程
????p?,H?,q????q?,H?,???1,2...s? p用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，这种表示法在量子力学，量子场论等课程中被广泛应用。
每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程=积分
??p?,q?,t??C1,??p?,q?,t??C2
可以推出另外一个积分??,???C3，这一关系称为泊松定理。
5.13 答：哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的S维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。
因为对等时变分?t?0，故变分符号?可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分
?t?0，故全变分符号不能这样。
5.14答：力学体系的哈密顿函数H中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系（或参变数）的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数H*，使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数的选取，其选取的原则是使H*中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具体分析。
5.15答：哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿—雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷，通过一个特殊的正则变换，使得用新变量
P?,Q?,(??1,2.....s)表示的哈密顿函数H*?0，此时P?,Q?全部为常数
?i,?i,(i?1,2...s)，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。
5.16答：对（5.9.8）式若为不稳定约束，只需以h代替E即可，故对（5.9.8）式分离变量后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不稳定约束。正则方程利用哈—雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。
5.17答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论与方法难以建立与其它学科的联系。
5.18答：十九世纪发展起来的“分析力学‘方法弥补了上述缺陷，它用纯数学分析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。
下面通过分析力学与牛顿力学理论及方法的比较扼要阐述分析力学的优越性。 牛顿力学的着眼点是力，实际力学体系除受到促使其运动状态改变的主动力，往往还存在很多限制其运动的约束条件体现这些约束的约束反作用力都要作为未知数出现于运动微分方程，使未知量增加给解算带来许多麻烦；分析力学着眼于功和能在一定条件下，常常可以不考虑约束反作用力。如在理想条件下，用虚位移原理解决力学体系的平衡问题可撇开众多的未知未知约束力，直接得出平衡条件，比用牛顿力学中刚体受力的平衡方程方便得多；达朗伯——虚位移原理解决力学体系的动力学问题，由于虚功的概念、广义坐标的引入，也可撇开约束力得解，比用牛顿方程即由此推出的动量定理，动量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密顿原理即由此得到的分析力学一系列方程均具这一优点。从一分为二的观点来看，这也是分析力学的缺点——不能求出约束反作用力。当把待求的约束反力或做功的约束反力作为主动力来看，分析力学的理论修改后仍能应用。
牛顿力学用矢量的方法研究力学体系的运动，着眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相对性，在坐标变换中很费事，故牛顿力学的动力学方程都与参考系极坐标系的选取有关；分析力学用标量描述力学体系的运动及变化规律，着眼于功和能广义坐标和
广义速度等一系列标量，标量便于变换及叠加，标量形式的运动方程也是便于写出的，且由于广义坐标和广义力的引入，是指超出立宪的范围也能应用，给参变量的选用也带来了许多方便，提高了灵活性。如用拉格朗日方程，哈密顿原理或哈密顿正则方程推证极坐标系，球坐标系的质点运动方程，比用牛顿力学的方法简便，但分析力学不如牛顿力学方法直观物理意义也不如牛顿力学方法清晰。
牛顿力学的动量守恒定律动量矩守恒定律总是以牛顿第三定律为先决条件的；而分析力学中循环坐标对应的广义动量守恒原理并不以牛顿第三定律为先决条件，其先决条件是拉格朗日函数或哈密顿函数中不含某广义坐标。若拉格朗日函数中不含某广义坐标，则对应于拉格朗日动力学的广义动量守恒；若哈密顿函数中不含某广义坐标，则对应于哈密顿动力学的广义动量守恒。牛顿动力学的动量守恒定律，动量矩守恒定律都是广义动量守恒原理对应的某循环坐标下的特例。恩西力学的理论更具有概括性，广义动量守恒原理具有更普遍的意义。
牛顿力学研究力学问题也用到共和能的概念，但其功能关系动能定理，功能原理，机械能守恒定律等，只不过提供了力学体系运动的某一方面特征，它的注意力集中于实际实现，而在实际实现的运动中，功能关系只能给出一个独立的方程不能提供完全的解；分析力学则不然，它不只是注意实际实现的运动，而是以力学体系的一切可能存在的运动中挑选出真实的运动，故分析力学中的功能关系指的是一切可能出现的运动中的功能关系，比实际实现的运动中的功能关系要丰富的多，它可以给出一组与力学体系自由度数相等的运动方程，足以确定体系的运动。如用牛顿力学中的功能关系——机械能守恒定律研究抛体运动（不计空气阻力），只能给出一个独立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程则可以给出与自由度数相等的两个独立的运动方程，足以解决其运动。
牛顿力学机械能守恒定律中的势能对应于所有的势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同。再者，分析力学中哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下
H?T2?T0?V并非机械能，成为广义能量，只有在稳定的约束情况下H?T?V才是机
械能。故牛顿力学的机械能守恒定律要求有势力，而哈密顿函数的守恒原理要求H不显含t且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的。分析力学的广义能量守恒比牛顿力学的机械能守恒有着更广泛的意义。
牛顿力学定律不便于与其它形式的运动建立直接的联系，分析力学着眼于能量，便于进一步考虑能量的量子化问题，为从经典力学向近代物理学及其它领域过渡提供了方便的“跳板”。如哈密顿——雅可比方程量子化得到的薛定谔方程，哈密顿正则方程量子化得到量子力学的海森堡方程，经典泊松括号考虑量子化效应得到量子力学的泊松括号；哈密顿原理推广到量子力学的变分原理等。再者，能量便于与其运动形式转化，由于广义坐标概念的引入使得一系列分析力学的方程都适用于非力学体系；另外，分析力学是在多维的非欧几得
空间中讨论问题的，故分析力学的理论及方法在物理学的各领域有广泛的应用，现代的场论都好似拉格朗日形成的，分析力学在物理学中有着重要的地位。
最后讨论一下哈密顿动力学与拉格朗日动力学的关系。在处理实际问题中哈密顿动力学不如拉格朗日动力学方便，拉格朗日动力学中从拉格朗日函数可直接写出力学体系的运动方程——拉格朗日方程；哈密顿动力学中则必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数才可写出力学体系的运动方程——哈密顿正则方程，从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一途径达到拉格朗日方程，这样做的结果是绕了一个大圈子。
第五章习题
5.1 试用虚功原理解3.1题。 5.2 试用虚功原理解3.4题。
5.3 长度同为L的轻棒四根，光滑地联成一菱形ABCD。AB、AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上，BD间则用一轻绳联结，C点上系一重物W。设A点上的顶角
A为2a，试用虚功原理求绳中张力T。
??laalTlCTlW第5.3题图
5.4 一质点的重量为W，被约束在竖直圆周
2x2—y—r2= 0
上，并受一水平斥力k2x的作用，式中r圆的半径,k为常数。试用未定乘数法求质点的平
衡位置及约束反作用力的量值。
5.5 在离心节速器中，质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速?
绕该轴转动。试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。
aBmA?aDm1mC5.5题图5.6 试用拉格朗日方程解4.10题。
5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3。
5.8 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速?转动。管中有一质量为开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，m的质点。
试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。
5.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为?的圆锥面内运动。试以r,?为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。
zrz?r
O?yx第5.9题图5.10 试用拉格朗日方程解2.4题中的?a?及?b?。 5.11 试用拉格朗日方程求3.20题中的a及a。
25.12 均质棒AB，质量为m，长为2a,其A端可在光滑水平导槽上运动。 而棒本身又可
在竖直面内绕A端摆动。如除重力作用外，B端还受有一 水平的力F的作用。试用拉割朗日方程求其运动微分方程。如摆动的角度很小，则又如何？
? m?a??cos???ax 如?很小，则
?2sin??F答：m???a?cos??a?x2?
?k2???2Facos??mgasin????F ???a?xm???x4??2F
a??g??3m?式中x为任一瞬时A离定点O的距离，?为任一瞬时棒与竖直线间所成的角度，k 为绕质心的回转半径.
5.13行星齿轮机构如右图所示.曲柄OA带动行星齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动.已知曲柄的质量为m，且可认为是匀质杆.齿轮Ⅱ的质量为 m，半径为r，且可认为是匀质圆盘.至
12于齿轮Ⅰ的半径则为R.今在曲柄上作用一不变的力矩M.如重力的作用可以忽略不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动.
yrARMll?Olx
第5.13题图
5.14质量为m的圆柱体 S放在质量为 的圆柱体P上作相对滚动，而P则放在粗糙平面上.已知两圆柱的轴都是水平的，且重心在同一竖直面内.开始时此系统是静止的.若以圆柱体
P的重心的初始位置为固定坐标系的原点，则圆柱S的重心在任一时刻的坐标为
x?cm???3??m?sin?
2???m?y?ccos?
试用拉格朗日方程证明之.式中c为两圆柱轴线间的距离，?为两圆柱连心线与竖直向上的直线间的夹角.
5.15质量为M、半径为a的薄球壳，其外表面是完全粗糙的，内表面则完全光滑，放粗糙水平着上.在球壳内放一质量为m、长为 2asin?的匀质棒.设此系统由静止开始运动，且在开始的瞬间棒在通过球心的竖直平面内，两端都与球壳相接触，并与水平线成?角.试用拉格朗日方程证明在以后的运动中，此棒与水平线的夹角?满足关系
??5??3m??3cos??sin???9mcos?cos??a??22222?6g?5??3m??cos??cos??cos?
Oa2??第5.15题图 5.16半径为r的匀质小球，可在一具有水平轴、半径为R的固定圆柱的内表面滚动.试求圆球平衡位置作微振动的方程及其周期. 5.17质点M1，其质量为m1的绳系另一质点M2，用
l1的绳子系在固定点O上.在质点M1上，用长为l2，其
m2.以绳与竖直线所成的角度?1与 ?2为广义坐标，求此
系统在竖直平面内作微振动的运动方程.如m=m=m，l=l=l，试再求出此系统的振动
1221周期.
O?1M1
M2?2第5.17题图
5.18在上题中，如双摆的上端不是系在固定点O上，而是系在一个套在光滑水平杆上、质量为2m的小环上，小环可沿水平杆滑动.如m1=m2=m，l=l2=l，试求其运动方程及其
1周期.
5.19质量分别为m1、m2 的二原子分子、平衡时原子间的距离为a，它们的相互作用力是准弹性的，取二原子的连线为x轴，试求此分子的运动方程。
5.20 已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数L（非相对论的）为
L?T?q??qA?v?1mv2?q??qA?v 2式中v为粒子的速度，m为粒子的质量， q为粒子所带的电荷， ?为标量势，A为矢量势。试由此写出它的哈密顿函数。
5.21 试写出自由质点在作匀速转动的坐标系中的哈密顿函数的表示式。
5.22 试写出§3.9中拉格朗日陀螺的哈密顿函数H，并由此求出它的三个第一积分。5.23
试用哈密顿正则方程解4.10题。
5.24 半径为c的匀质圆球，自半径为b的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。
5.25 试求由质点组的动量矩J的笛卡儿分量所组成的泊松括号。
5.26 试求由质点组的动量P和动量矩J的笛卡儿分量所组成的泊松括号。 5.27 如果?是坐标和动量的任意标量函数，即??ar2?br?p?cp2常数，试证??,Jz，
a,b,c为
?=0。
5.28 半径为a的光滑圆形金属丝圈，以匀角速?绕竖直直径转动，圈上套着一质量为m的
小环。起始时，小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈滑下。当环和圈中心的联线与竖直向上的直径成角?时，用哈密顿原理求出小环的运动微分方程。 5.29 试用哈密顿原理解4.10题。
5.30 试用哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。 5.31试用哈密顿原理解5.9题。 5.32 试证Q?㏑??5.33 证：变换方程
??1?sinp?,P?qctgp为一正则变换。 ??q?q??2Q?k12?12cosP,p??2Q?ksinP1212代表一正则变换，并将正则方
?????H??H1?H?H程q?变为Q?式中H??p2?k2q2?,H??kQ ,p??,P???p?q2?P?Q5.34 如果利用下列关系把系数p，q换为P,Q:
q??1?P,Q?,p??2?P,Q?
则当
??q,p??1
??Q,P?时，这种变换是一正则变换，试证明之。
5.35 试利用正则变换，由正则方程求竖直上抛的物体的运动规律。已知本问题的母函数
?1?U?mg?gQ3?qQ?，式中q为确定物体位置的广义坐标，Q为变换后新的广义坐标，
?6?g为重力加速度。
5.36 试求质点在势场
V?中运动的主函数S，式中?及F为常数
?r2?Fz
r35.37 试用哈密顿-雅科毕偏微分方程求抛射体在真空中运动的轨道方程。 5.38 如力学体系的势能V及动能T可用下列二函数表示：
V?V1?V2???Vs
A1?A2???As????2122?? T??A1?A2???As??Bq?Bq??Bq1122ss??2??式中V?,A?,B????1,2,?,s?都只是一个参数q?的函数，则此力学体系的运动问题可用积分法求解，试证明之。
5.39 试用哈-雅方程求行星绕太阳运动时的轨道方程。
5.40 试由?5.9.29?及?5.9.30?两式推证?5.9.31?及?5.9.32?两式。 5.41 试求质点在库仑场和均匀场
V??R?Fz
表
的合成场中运动时的住函数S，以抛物线坐标?，?，?。
R?r2?z2（参看图1.2.4）
?及F是常数，而
5.42 刘维定理的另一表达式是相体积不变定理。这里又有两种不同的说法：
（1）考虑相宇中任何一个区域。当这区域的边界依照正则方程运动时，区域的体积在运动中不变。
（2）相宇的体积元在正则变换下不变。试分别证明之。
第五章习题解答
5.1解 如题5.1.1图
roC?xmg
y题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角?所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：
????Fi?ri?0
即
mg??y =0①
变换方程
yc=2rcos?sin?-lsin?= rsin2??lsin?②
22故
?yc??2rcos2??lcos????③
代回①式即
1???2rcos??lcos?????0
2????12??因??在约束下是任意的，要使上式成立必须有：
rcos2?-lcos?=0
2l?4rcos2?④ cos?又由于
cos?=c
2r故
22cos2?= c?2r
2r2代回④式得
4c2?2r2 l?c??
5.2解 如题5.2.1图
o??3
??y5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由?确定，自由度数为1，故。
x1??2rsin????l?r?sin? x2?2rsin???l?r?sin?x3?0
y1??l?r?cos?y2??l?r?cos?y3??l?r?cosa?2rcos?得
?y1???l?r?sin????y2???l?r?sin????y3???l?r?sin????2rsin?由虚功原理
???????????Fi??ri?0
i?1n故
① ????l?r?sin?????l?r?sin?????l?r?sin????2rsin?????0??因??在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须
?3?l?r?sin??2rsin?P1?y1?P2?y2?P3?y3?0???0 ??故
??2rsin?② ???3?l?r?sin?又由 ?x1??2rcos??????l?r?cos???得：
??2rcos?③ ????l?r?cos?由②③可得
tan??3tan?
5.3解 如题5.3.1图，
Al??aalxDBlTTl
CWy题5.31图在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，?一确定便可确定ABCD的位置。因此自由度数为1。选?为广义坐。 由虚功原理：
?F??rii?1ni?0
w?yc?TB?xB?TD?xD?0①
又
xB??lsin?,xD?lsin?,yc?2lcos??acot?
取变分得
?xB??lcos???;?xD?lcos????a?yc??2lsin??????2sin?代入①式得：
a??W??2lsin????????TD?lcos??lcos?????0 2sin???化简得
???a?W?2lsin???2Tlcos????0② ????2sin?????设
TB?TD?T
因??在约束条件下任意，欲使上式成立，须有：
a??W??2lsin????2Tlcos??0 2sin???由此得
?a?T?Wtan??csc3??1?
?2l?
5.4解 自由度s?1，质点位置为?x，y?。 由
Fix??????1kk?f??xi?f??yi?0①
?0Fiy??????1由已知得
i?1,
f?x,y??x2?y2?r2?0
故
k2x?2?x?0W?2?y?0②
约束方程
x2?y2?r2③
联立②③可求得
2?2W??x??r?k2?x?0??W? ?y??r 或 ?y?2k??W?????k22r?????2?又由于
?f???f?R???f?????????y???x????故
22??4x2?y2?2?r
??x?0y??r R??W或
x??r?W22k4k2R??k2ry?W
5.5解 如题5.5.1图
A???axDm1ym1BaaaCz
am2题5.5.1图按题意仅重力作用，为保守系。因为已知???，故可认为自由度为1.选广义坐标??q，在球面坐标系中，质点的动
Ti?
1?2?r2sin2???2?其中i代表指标B，C，D? ?i2?ri2?miriiii2??由于
rB?rD?a,
?B??D??
所以
TB?TD?1?2??2a2sin2? m1a2?2??又由于
?c?0
rc?2acos?
故
1?d2acos??22?2 Tc?m2???2m2asin??2?dt??2??2a2sin2??2ma2sin2???2 T?TB?TD?Tc?m1a2?22??取Ox为零势，体系势能为：
V??2ga?m1?m2?cos?
故力学体系的拉氏函数为：
L?T?V
2?222222??m1a???sin??2m2asin???2ga?m1?m2?cos???
5.6解 如题5.6.1图.
yMx,y?r???C
o?tx题5.6.1图?1?平面运动，一个自由度. ?2?选广义坐标为q??，广义速度
?3?因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程 d?dt???T???q?????Tq?Q?① ???在
?nW??Fi??ri?Q1???0。 i?1广义力
Q1?0.
代入①得：
d?dt??T??T??????????0② 在极坐标系下：
?2??2T?12m?r?2?r2??2??1????????2?d??t???2m??d2acos2?????2acos??????2??????dt?2??dt???????????1m??22???4a?cos22?4a2??cos2?2?a2??2??③
2?故
??????? 将以上各式代入②式得
???2ma2???sin??ma2?2sin??2ma2???sin??0 ma2?????2sin??0 ?
5.7解 如题5.7.1图
yxmg
o题5.7.1图x?2?y?2??2x2 v2?x又由于
??yx
?x2a所以
2?1?2??x2?121?2?x?22① 22??????mx1???xT?mv?m?x??x???x????2?24a22?2a?????????取坐标原点为零势面
x2②
v?mgy?mg4a 拉氏函数
?1?2?x2?x2③ 22??L?T?V?m?x1?2???x??mg2??2??4a?4a??2?L?mxx 2?????m?x?mg2??x?2a?4a???Lx2????mx?1?4a2????x???d??L?x?x2??????mx1??mx?2??4a2???dt??x2a2???L??L代入保守系拉格朗日方程d??0得 ??????xdt??x2
?x2?xx22????m?x1??mx?m?x?mg?0 2?4a2?2a4a??
??Lx2????mx?1?4a2????x???d??L?x?x2??????mx1??mx?2??4a2???dt??x2a2??2
代入保守系拉格朗日方程
d??L??L?0 ??????xdt??x得
?x2?xx22????m?x1??mx?m?x?mg?0 2?4a2?2a4a??
5.8解：如图5.8.1图.
xP?tmgv0a
题5.8.1图(1)由于细管以匀角速?转动，因此.=?可以认为质点的自由度为1.
?(2)取广义坐标x?q. (3)根据极坐标系中的动能
T?1?2)?1m(x?2?r2??2?x2?2) m(r22取初始水平面为零势能面，势能:
V?mgxsin(?t)
拉氏函数
L?T?V?1?2??2x2)?mgxsin(?t)① m(x2(4)
?L?L?，?mx?m?2x?mgsin(?t) ??x?x代入拉氏方程
d?L?L()??0 ?dt?x?x得：
??m?2x??mgsin(?t) m?x(5)先求齐次方程的解.
????2x?0② xx?c1e?t?c2e??t
特解为
g2?2sin(?t)
故①式的通解为
x?c1e?t?c2e?t?g2?2sin(?t)③
在t?0时：
a?c1?c2④
x?v0?c1??c2??g⑤
2?联立④⑤得
v?1?g
c1??a?0??2???4?2v?1?g
c2??a?0??2???4?2将c1,c2代回式③可得方程的解为：
?1?v?v0?g??t?1?g???tgx???a?0??e?a??e?sin(?t) ???2?2?2??4????4??2??2??2?
5.9解 如题5.9.1图.
zrz?r
yO?x第5.9题图（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2. （2）选广义坐标q1?r，q2??. （3）在柱坐标系中：
T?1?2?z?2?r2??2 mr2??z?rcot?
T?1?2?r?2?r2??2cot2? mr2??以Oxy面为零势能面，则：
V?mgrcot?
拉氏函数
L?T?V?1?2?r?2?r2??2cot2?-mgrcot?① mr2??（4）因为L不显含?，所以?为循环坐标，即
d??L?????0 dt?????L??常数② ?mr2????对另一广义坐标
?L?2?mgcot??mr??r ?L??mr?cot2??mr??r代入保守系拉氏方程
d??L??L?0③ ??????rdt??r有
?2?mgcot??0 ??m??cot2??mr?m?rr得
?2sin2??mgsin?cos??0④ ??mr?m?r所以此质点的运动微分方程为
2???A?r?（A为常数） ?22?sin??gsin?cos??0?r??r???y1??x1?x2?tan?
所以
T?112 ?12??x?1?x?2?2tan??m2x?2m1x22??
5.10解如题5.10.1图.
yO?
x1x2x题5.10.1图（1）体系自由度数为2. （2）选广义坐标q1?x1,q2?x2. （3）质点的速度v2?x?12?y?12, 1劈的速度
22 ?2v2?x故体系动能
T?T1?T2?112 ?12?y?12?m2x?2mx22??以x面为零势面，体系势能：
V?m1g(x1?x2)tan??C2
其中C2为劈势能. 拉氏函数
L?T?V?① 112222?1??x?1?x?2?tan??m2x?2?m1g?x1?x2?tan??C2m1x22??（4）
?L??m1gtan??x1?L?1?m1?x?1?x?2?2tan2?m1x?1?x代入拉格郎日方程
d??L??L????0 ???1?x1dt??x得：
?11?tan2??m1??2tan2??m1gtan??0② m1?xx???L?m1gtan? ?x2?L?1?x?2?tan2??m2x?2 ??m1?x?2?x代入拉格郎日方程得
?1tan2??m2??2tan2??m2??2?m1gtan??0③ ?m1?xxx联立②，③得
mgsin?cos???1??2x??m2?m1sin2??
?m1gsin?cos????x??2m?msin2?21?
5.11 解 如题5.11.1图
rC?OC?a1
x题5.11.1图Ba2（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度s?1.
（2）选取广义坐标q??. （3）根据刚体力学
T?11?2132?2?2mr2??2 Mvc2?IC??mvB?Mr2?2224其中绕质心转动惯量
IC?1?,v?2v Mr2,vC?r?BC2选Ox为零势面，体系势能：
V?C?2mgr?
其中C为常数.
拉氏函数
L?T?V?3?2?2mr2??2?2mgr??C Mr2?4(4)
?L?L3??4mr2?? ?2mgr,?Mr2??????2代入保守系拉氏方程
d??L??L?0 ????dt??????得：
3???4mr2????2mgr?0 Mr2?2????4mg?3M?8m?r ???4mga1?r?3M?8m8mga2?2a1?3M?8m对于物体B，有
3Mmg
T?mg?ma2?3M?8m
5.12解 如题5.12.1图.
Amg?T?ma2axCmg?aByF题5.12.1图（1）棒作平面运动，一个约束，故自由度s?2. （2）选广义坐标q1?x,q2??. （3）力学体系的动能
T?112mvC?IC?2 22根据运动合成
??a?cos??i?a?sin?j vC??x又
? ???故
2?2?2ax?cos? ?2?a2???vC?x设k为绕质心的回转半径，代入①得动能
T?11?2?max?cos??1mk2??2② ?2?ma2???mx222（4）
rB??x?2asin??i?2acos?j
由
?W????q???Fi?.?ri?0③
i?12（其中F?mgj,F?Fi）
CB则
?W?F??x?2acos?????mgasin????F?x??2aFcos??mgasin?????0④
因为?x、??在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：
Q1?F,Q2?2aFcos??mgasin?⑤
（5）
?T?T?cos? ??a??0,?mx??x?x??代入一般形式的拉氏方程得：
??cos??a??2sin??F⑥ ??a?m?x又
?T?sin? ????max???T??ax? ?cos??mk2??ma2????????代入一般形式的拉氏方程得：
???2Facos??mgasin?⑦ ?cos??a2?k2?ma?x⑥、⑦两式为运动微分方程
（6）若摆动角很小，则，代入式得：sin???,cos??1，代入⑥⑦式得：
????a??2??F??x?a???m⑧ ????ga??2Fa?a???a2?k2?x?m???????又
IC?mk2?m?2a?2 12故
k2?12 a3代入⑧式得：
????F??x?a???m ?4??2F????a?x?g???3m?（因为?角很小，故可略去?a??2?项）
5.13解 如题5.13.1图
yrAIIROM?xI题5.13.1图(1)由于曲柄长度固定，自由度s?1.
(2)选广义坐标q??，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：
d??T???dt???q??T① ????q?Q???(3)系统动能
T?11122I1?12?m2vA?I2?22222??② ?R?r??111122??m2?R?r?2??2??m2r2???m1?R?r????6222r??1322??m2?R?r?2??2?m1?R?r??64（4）由定义式
Q???Fi?（5）
?ri?M③ ??i?T?T132??m2?R?r?2?? ?0,?m1?R?r???3????2代入①得：
d??T????Q??M ????dt???132???m2?R?r?2????M m1?R?r??32得
????2M2m1? 2?3m2?R?r???1?9m??2??
5.14.解 如题5.14.1图.
????O?SabOxmgP题5.14.1图（1）因体系作平面平行运动，一个约束方程：
??b????a?b???? a?(2)体系自由度s?2，选广义坐标q1??,q2??.虽有摩擦，但不做功，为保守体系
（3）体系动能：
T?P轮平动动能?P轮质心转动动能?S轮质心动能
?S轮绕质心转动动能.
2111m?cos??a??2?M???a?2?IS???2??a?b???IP?222212?2?m?a?b??sin2?231?2?1m?a?b???cos??a??2a2?ma????a?b????M?44212?2?m?a?b??sin2?2???????①
2以地面为零势面，体系势能
V?mg?a?b?cos??Mga
则保守系的拉氏函数
L?T?V?22311??a??2cos??a??2a2?m?a?b????m?a?b????M?442②
????m?a?b?2??2sin2??mg?a?b?cos??Mga2??(1)因为L不显含?，得知?为循环坐标. 故
?L311??ma?a?b???cos??ma2???ma2???ma?a?b???=常数③ ?Ma2??2??22开始时：
??0 ????则
331??ma?a?b???cos??0 ??ma2???ma?a?b??Ma2?222代入c?a?b得
?2mccos??mc??
???a??????M?m??又t?0时，????0 所以
a??2mcsin??mc? 3?M?m?x?csin??a??csin??m???3M?m?sin??c3?M?m?y?ccos?
5.15解 如题5.15.1图
yM2mcsin??mc?3?M?m?
?al
x?mgO5.15.1图（1）本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度s?2；选广义坐标
q1?x,q2??，体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明
d??L???dt???q??L① ????q?0??（2）体系动能=球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能
?2?T?CMx1112② I1?12?mv2?I2?2222其中
I1?2112Ma2,I2?ml2?m?asin??,333?i?acos?sin???j,??x,??????acos?cos??v?x球杆a??
代入②得
T?1?512??212?2??cos?cos? ??ma2????M?m?x?cos??sin???amx2?323???以地面为零势面，则势能：
Vmgacos?cos??C1（其中C1为常数）
1?512??212?2???ma2?L?T?V??M?m?x?cos??sin???2?323???
?cos?cos???mgacos?cos??C???amx1(3)因为x是循环坐标，故
?L?5?2?cos?cos??常熟③ ??ma???M?m?x??3?x?而
?L?cos?sin??mgacos?sin?????max?? ?L1????cos?cos??ma2?cos2??sin2???max??3????代入①式得
12?2????cos?cos??mgcos?sin???0④ ma?x?cos??sin??m?3??联立③、④可得（先由③式两边求导，再与④式联立）
???9amcos2?cos??5M?3m??3cos2??sin2??a??5M?3m?3gcos?sin??0⑤试乘2??并积分得：
222d??cos??⑤ dt????5M?3m??3cos??sin???cos?cos??a??22?6g?5M?3m?cos?cos??常数
又由于当
??0，则??? ?故常数??6g?5M?3m?cos?cos?22??5M?3m??3cos??sin???9mcos?cos??a??222
?6g?5M?3m?cos??cos??cos??
5.16解 如题图5.16.1.
ROr?CO?
mg题5.16.1图（1）由已知条件可得系统自由度s?1. （2）取广义坐标q??. （3）根据刚体力学，体系动能：
T?112mvC?IC?2① 22又
?R?r???22 ?vC??R?r??,??,IC?mrr5将以上各式代入①式得：
??2112??R?r??2?2T?m?R?r???mr??25r?? ?72?2m?R?r??10设原点O为零势能点，所以体系势能
V??mg?R?r?cos?
体系的拉氏函数
L?T?V?72?2m?R?r???mg?R?r?cos?② 10(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系，故可采用
d??L???dt???q??L③ ????q?0???L??mg?R?r?sin???mg?R?r?? ???因为微震动，?很小，所以sin?????L72?2 ?m?R?r????5代入③式得
72???mg?R?r???0 m?R?r??5即
????5g?0
7R?r（5）解方程得
??Acos???5g?t??0???7R?r?7R?r5g
周期??2?5.17解 如题5.17.1图
O?1l1xM1?2y题5.17.1图l2M2（1）由题设知
?v1?l1?1
?cos??l????v2?l1?1122cos?2i?l1?1sin?1?l2?2sin?2j????系统动能
T?112M1v12?M2v2221?2?1Ml??cos??l??cos?2??M1l12?1211122222① 1?sin??l??sin?2M2l1?1122221?2?1Ml2??2????M1?M2?l12?1222?Ml1l2?1?2cos??1??2?22????取x轴为势能零点，系统势能
V??M1gl1cos?1?M2g?l1cos?1?l2cos?2?
拉氏函数
1?M1?M2?l12??12?1M2l22??22?M2l1l2??1??2cos??1??2?? ② 22M1gl1cos?1?M2g?l1cos?1?l2cos?2?L?T?V?（2）体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程.
?L?????M2l1l2?12sin??1??2???M1?M2?gl1sin?1??1?L2??cos???????M1?M2?l1??M2l1l2?1212???1代入拉氏方程
d??L??L????0 ???dt???1???1
得：
???Mll???????????M1?M2?l12??12122cos??1??2??M2l1l2?2sin??1??2??12
???M2l1l2??1??2???M1?M2?gl1sin?1?012sin?又
cos??1??2??1,sin?1??1?因为是微震动?代入上式得
?????0,M1?M2?m,l1?l2?l,?12
???ml2????2mgl2ml2??1?0 12即
???l????2gl??0③ 2l?121同理
?L2?2?cos??????M2l2?2?M2l1l2?112???2?L????M2l1l2?12sin??1??2??M2gl2sin?2??2
d??L??L?代入???????0得dt???2?2?
2???cos??????Mll??M2l2??2?M2l1l2??1??2???1???2?1122121sin?
???M2l1l2??1??2??M2gl2sin?2?012sin???又
?????0,sin???,cos??????1 M1?M2?m,l1?l2?l,?122212代入上式得
???l????g??0④ l?212令
?1?A1e?t,?2?A2e?t
代入③④式得：
A12l?2?2g?A2l?2?0A1l??A2l??g?0欲使A1,A2有非零解，则须有
2???2?
2l?2?gl?2解得
??l?2?0 2l??g??2?4gl??4gl?2?8g2l22l212??2?2gl
???2?2???g????i????l??????周期
?1?2??2?2?g2?2g2?2
?ll? ??5.18解 如题5.18.1图
2mO?1lxm?2y题5.18.1图l
m（1）系统自由度s?1
?,q? （2）取广义坐标q1?x,q2??1,q3??2;广义速度q?1?x?1,q?2???3??12（3）因为是微震动，cos?1?cos?2?1,sin?1??1,sin?2??2, 体系动能：
T?11??2?mx??l??2m?x122??2?1??l??2 mx?l?122????以Ox为势能零点，体系势能
V??2mglcos?1?mglcos?2
拉氏函数
?2?L?T?V?mx1??21mx??l????l???l?mx11222??????2?2mglcos?1?mglcos?2
（4）
?L?0?x?L??mx??l?? ??mx??l???l??2mx112??xd??L????ml????0??2ml?x???4m?12??dt??x??????即
???l????0① ??2l?4?x12同理
?L??2mglsin?1??1?L??mlx?l???l?? ??l??mlx112???1??????d??L??L????0??dt???1???1????ml????l????2mglsin??0 ??l???l?ml?xx1121???l????2g??0② ??2l?2?x121同理
?L??mglsin?2??2?L?)?l?? ??l??ml(x12???2????????d??L??dt????2??L???0????2????l???g??0③ ???l?x12?2设
x?Ae?t,?1?A1e?t,?2?A2e?t
2?t?2?t?2?t?????A?e,?1?A1?e,?2?A2?ex代入①②③式得
4A?2?2A1l?2?A2l?2?0??2A?2?2A1?l?2?g??A2l?2?0?
?A?2?A1l?2?A2?l?2?g??0?欲使A,A1,A2有非零解，必须
4?22?22l?2?gl?2?2l?2?l?2l?2l?2?g?0
?2解之
4?2l?2?gl?2?4g?0
????又
??0
故可得
?1??i周期
g4g ;?2??ill?1?2?
5.19解 如题5.19.1图
Ogg ;?1??llx1x2x
题5.19.1图（1）体系自由度s?2 （2）取广义坐标
q1?x1,q2?x2
广义速度
?1?x?1,q?2?x?2 q（3）体系动能
T?112 ?12?m2x?2m1x22体系势能
V?12k??x2?x1??a? 2体系的拉氏函数
L?T?V?11122?12?m2x?2m1x?k?x2?x1?a? 222（4）体系中只有弹力做功，体系为保守系，可用
d??L???dt???q??L① ????q?0???L?L?1?k?x2?x1?a?,?m1x??x1?x1
?L?L?2??k?x2?x1?a?,?m2x?2?x2?x将以上各式代入①式得：
?1?kx1?kx2?ka?0?m1?x? ②
?2?kx2?kx1?ka?0?m2?x先求齐次方程
设
代入③式得
要使A,B有非零，必须即
又??0 故
通解为：
其中
m1?x?1?kx1?kx2?0?m2?x??③
2?kx2?kx1?0?x?t1?Ae,x2?Be?t
?x?1?A?2e?t,?x?2?t2?B?eA?m1?2?k?Bk?0?kA?B???2m2?k?
?0m1?2?k?k?km2?0 2??km1m2?4?m1?2k?m2?2k?0
?2??m1?m2mk1m2???im
1?m2mk1m2x1?A?Bt?C1sin?vt????xA?Bt?C?
2?2sin?vt????
v?m1?m2k m1m2又存在特解
x1?0?? x2?a?有②③式可得
?1?m1??2?0 m1?xxB??C2??m1A m2m1C1 m2x1?A?Bt?Csin?vt???x2?A?Bt? m1Csin?vt???m2式中A,B,C及?为积分常数
v?k为倔强系数。
m1?m2
?km1m2
5.20解：以速度我广义速度q??v，根据定义p??p??L ???q?L?mv?qA?v① ?v根据公式（5.5.10）
???LH??p??q??mv?qA??v-?T?q??qA?v? ?12mv?q?2??1s又有① 得
p-qAm21?p-qA?H?m?q? 22m1?p-qA?2?q??2mv?
5.21解 取在转动坐标系的速度为广义速度v??q?，则在固定坐标系中的速度：
v?v??Ω?r，自由质点的动能T?1mv2，设质点势能为V，则质点的拉氏函数 21mv2?V 2L?T?V?根据定义：
?1???mv2?2 ?T1??v??Ω?r?2??p???m?mv??q?v?2?v?在转动坐标系中：
???L?mv?v?-H??p??qi?1s121mv?V?mv?v-Ω?r??mv2?V 22?11212mv2?mv(Ω?r)?V?p?(Ω?r)?p?V?p?Ω??r?p??V 22m2m上式中r为质点的位矢，p?mv,v为质点相对于固定坐标系的速度。
5.22解：取在广义坐标q1??,q2??,q3??.根据教材（3.9.21）和（3.9.19）式得动能：
T?1?2???2sin2??I3???cos?????2 I1?2????势能：mglcos?,l为原点距离
H?T?V 12222??sin??I3???cos??????mglcos??I1???2????根据定义式
p???T?T?,有p???I1?????q???sin2??I3cos????cos?????p??I1??cos?????p??I3??
1?12112?2??p?p?p?p???mglcos?????22?I1II1sin?3?故
22p?12?p??p?cos???p????mglcos?22I12I32I1sin?H?因为
dH?H??0 ???H,H???dt?t所以H?C1为第一积分.又
?p??p??0,?p??p????1,?0,?p??p??0,?p????sin?,??I3??p????0,?p?
p?H?H?0,??????0???p?I故
?p得p??C2为第二个第一积分. 同理
?p??p??p????0,?0,?p??p??0,?,H??0
???0 p?p??p??1,?p????0,?p????0,
?H?H?H?0,?0,????0;p?,H?0???p??p???即
???0 p得p??C3为第三个第一积分.
5.23解如题5.23.1图,
yMa?
xC?tO题5.23.1图由5.6题解得小球的动能
T?1?22??cos2??a2??2?m?4a?cos2?4a2???① 2?22?根据定义
p???T??2ma2?cos2?② ?ma2??2??得
???根据哈密顿函数的定义
p?2?③ ?2?cos2ma2 1?222?22?2?2????p????4a?cos?4a??cos?a???V2m?22?代入③式后可求得:
p?212?H??2?pcos?ma2?2sin2?④ ?2222ma??L?p??H?p????T?V由正则方程得:
???p??H???p?sin??ma2?2sin?cos?⑤ ?????代入⑤得
p?H???2?2?cos2⑥ ?p?ma222??psin??ma?sin?cos??????sin????2sin? ????ma整理得
????2sin??0 ?
5.24 如题5.24.1图,
bO?c? 5.24.1图 ⑴小球的位置可由?确定,故自由度s?1
?. ⑵选广义坐标q??,广义速度q???⑶小球动能
T?11mv12?I0?2 22又由
?,??v1?c?b??,代入①式得 v??c?b??cc1127?2?c?b??2?2?c?b?2 T?mv12?a?b????mc2????m?22510?c?设小球势能为V,取固定圆球中心O为零势点,则
2V?mg?c?b?cos?
小球拉氏函数
L?T?V?7?27?22?c?b?2?mg?c?b?cos?① m??c?b??V=m?1010根据定义
?T7?2???m?c?b???25
p5????7m?c?b?2p??有
??LH?p??
?5?7?5p??p?2???p???m?c?b?mg?c?b?cos????22?7m?c?b??10?7m?c?b?? 5p?2??mg?c?b?cos?214m?c?b?2?4?根据正则方程
???p?H?mg?c?b?sin?④ ?????对式两边求时间导得：
5p??H⑤ ?2?p?7m?c?b???????5p7m?c?b?2?5mg?c?b?sin?7m?c?b?2?5gsin?
7?c?b?故小球球心切向加速度
???5gsin? a??c?b??7
5.25解根据第二章§2.3的公式有：
??i????yipiz?zipiy???i?ziyJx??mi?yizi?1i?1?nn??i?xiz?i????zipix?xipiz??① Jy??mi?zixi?1i?1?nn??i?yix?i????xipiy?yipix??Jz??mi?xiyi?1i?1?nn根据泊松括号的定义：
????,??????s????????p??q?i?1??q??p???② ???所以
?J同理可知：
x,Jy???i?1?n?Jx?Jx?Jx?Jx??q??p??p??q??
?J由②得：
y,Jy?0, ?Jz,jz??0
??Jnx,Jy???Jx?Jy?Jx?Jy?????q?p??p?qi?1?????s? ??????Jx?Jy?Jx?Jy???Jx?Jy?Jx?Jy???Jx?Jy?Jx?Jy??????????x?p??p?x?????y?p??p?y?????z?p??p?z???i?1?ixixi?iyiyi?izizi???i?i??i? ???xipiy?yipix??Jzi?1n同理可得：
?Jy,Jz?Jx, ?Jz,Jx??Jy
?5.26解 由题5.25可知Jx,Jy,Jz的表达式 因为
?py?py?py?p??p??1,?0;?0,?0,?0 ?p??p??x?y?z故
???Jx?py?Jx?pyJx,py?????q?p??p?qi?1??????s? ???n??yp?zp??Jxiiziiy????y?yii?1
??piz?pzi?1n同理可求得：
?n??xp?yp?n?JziiyiixJz,py??????pix??px
?y?yii?1i?1??J,p????Jyyyy?0