第一次作业解答－振动
11-1 一质量为m的质点在力F = -?2x的作用下沿x轴运动．求其运动的周期．
解：将F = -?2x与F = -kx比较，知质点作简谐振动，
k= ?2． k??又 ?? mm2? T??2m
m0Fx
?
11-2 质量为2 kg的质点，按方程x?0.2sin[5t?(?/6)] (SI)沿着x轴振动．求：
(1) t = 0时，作用于质点的力的大小； (2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置． 解：(1) t = 0时， a = 2.5 m/s2 ，| F | = ma = 5 N (2) | amax | = 5，其时 | sin(5t - ?/6) | = 1 | Fmax | = m| amax | = 10 N x = ±0.2 m（振幅端点）
11-15 一物体作简谐振动，其速度最大值vm = 3310-2 m/s，其振幅A = 2310-2 m．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动. 求：
(1) 振动周期T； (2) 加速度的最大值am ； (3) 振动方程的数值式．
解: (1) vm = ?A ∴? = vm / A =1.5 s-1 ∴ T = 2?/????4.19 s
(2) am = ?2A = vm ?? = 4.5310-2 m/s2
1 (3) ???
21 x = 0.02cos(1.5t??) (SI)
2
11-24 一物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N2m-1，如果起始振动时具有势能0.06 J和动能0.02 J，求 (1) 振幅；
1
(2) 动能恰等于势能时的位移；
(3) 经过平衡位置时物体的速度．
1解：(1) E?EK?Ep?kA2
2 A?[2(EK?Ep)/k]1/2= 0.08 m
121kx?mv2 222 m?2x2?m?2A2sin(?t??)
(2)
2 x2?A2sin(?t??)?A2[1?cos2(?t??)]?A2?x2
2x2?A2， x??A/2??0.0566 m (3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量
1 E?EK?Ep?mv2
2 v?[2(EK?Ep)/m]1/2??0.8 m/s
11-29 两个同方向简谐振动的振动方程分别为
31 x1?5?10?2cos(10t??) (SI), x2?6?10?2cos(10t??) (SI)
44求合振动方程．
解：依合振动的振幅及初相公式可得
312?2A1A2co?s??52?62?2?5?6?cos(???)?10?2 m A?A12?A244 ?7.81?10?2 m
5sin3?(/4)?6sin?(/4) ??arctg = 84.8°=1.48 rad
5cos3?(/4)?6cos?(/4)10t?1.48) (SI) 则所求的合成振动方程为 x?7.81?10?2cos(
11-30 一物体同时参与两个同方向的简谐振动： x1?0.04cos2?(t?1?) (SI), x2?0.03cos(2?t??) (SI)
2求此物体的振动方程．
解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 x?Acos?(t??)
2?2A1A2cos?2(??1) ① 则 A2?A12?A2以 A1 = 4 cm，A2 = 3 cm，?2??1???1??1?代入①式，得
22 A?42?32cm?5 cm
Asin?1?A2sin?20.04?arctg又 ??arctg1 ②
A1cos?1?A2cos?2?0.03 ≈127°≈2.22 rad
∴ x?0.05cos(2?t?2.22) (SI)
2
第二次作业解答－波动
12-2 一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A = 10 cm，波的角频率? = 7? rad/s.当t = 1.0 s时，x = 10 cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x = 20 cm处的b质点正通过y = 5.0 cm点向y轴正方向运动．设该波波长? >10 cm，求该平面波的表达式．
解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波的表达式可写成 y?0.1cos7?(t?2?x/???) (SI) t = 1 s时 y?0.1cos7?[?2?(0.1/?)??]?0 因此时a质点向y轴负方向运动，故
1? ① 2而此时，b质点正通过y = 0.05 m处向y轴正方向运动，应有 y?0.1cos[7??2?(0.2/?)??]?0.05
1且 7??2?(0.2/?)????? ②
3由①、②两式联立得 ?? = 0.24 m ???17?/3
7??2?(0.1/?)???∴ 该平面简谐波的表达式为
?x17??] (SI) 0.123?x1或 y?0.1cos[7?t???] (SI)
0.123
12-4 一列平面简谐波在媒质中以波速u = 5 m/s沿y (cm) y?0.1cos[7?t?x轴正向传播，原点O处质元的振动曲线如图所示． (1) 求解并画出x = 25 m处质元的振动曲线． (2) 求解并画出t = 3 s时的波形曲线．
2O24t (s)
解：(1) 原点O处质元的振动方程为
11 y?2?10?2cos(?t??)， (SI)
2211波的表达式为 y?2?10?2cos(?(t?x/5)??)， (SI)
22 x = 25 m处质元的振动方程为
1 y?2?10?2cos(?t?3?)， (SI)
2振动曲线见图 (a)
(2) t = 3 s时的波形曲线方程
3
y?2?10?2cos(???x/10)， (SI) 波形曲线见图
y (m)2310-2y (m)u510152025x (m)O1234-2310-2t (s)O(a) (b)
12-15 一平面简谐波，频率为300 Hz，波速为340 m/s，在截面面积为3.00310-2 m2的管内空气中传播，若在10 s内通过截面的能量为2.70310-2 J，求 (1) 通过截面的平均能流； (2) 波的平均能流密度； (3) 波的平均能量密度．
解：(1) P?W/t?2.70310-3 J/s
(2) I?P/S?9.00310-2 J /(s2m2) (3) I?w?u
w?I/u?2.65310-4 J/m3
12-18 如图所示，两相干波源在x轴上的位置为
S1和S2，其间距离为d = 30 m，S1位于坐标原点O．设O x1 x2 x S1 S2 波只沿x轴正负方向传播，单独传播时强度保持不
d 变．x1 = 9 m 和x2 = 12 m处的两点是相邻的两个因干 涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差．
解：设S1和S2的振动相位分别为??1和??2．在x1点两波引起的振动相位差
d?x1x]?[?1?2?1]?(2K?1)? [?2?2?
??即 (?2??1)?2?d?2x1??(2K?1)? ①
在x2点两波引起的振动相位差 d?x2x]?[?1?2?2]?(2K?3)? [?2?2???即 (?2??1)?2?d?2x2?②－①得 4?(x2?x1)/??2? ??2(x2?x1)?6 m
由① ?2??1?(2K?1)??2??(2K?3)? ②
d?2x1??(2K?5)?
当K = -2、-3时相位差最小 ?2??1???。
4