河南省洛阳市高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

a+anan+1﹣na

=0对?n∈N*都成立.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记bn=a2n﹣1a2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<. 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式. 【分析】(1)(n+1)a

+anan+1﹣na

=0对?n∈N*都成立.分解因式可得:

[(n+1)an+1﹣nan](an+1+an)=0,由an+1+an>0,可得(n+1)an+1﹣nan=0,即=

.利用“累乘求积”方法即可得出.

=

.利用裂项求和方法、数列的

(2)bn=a2n﹣1a2n+1=单调性即可得出.

【解答】(1)解:(n+1)a

+anan+1﹣na

=0对?n∈N*都成立.

∴[(n+1)an+1﹣nan](an+1+an)=0,∵an+1+an>0, ∴(n+1)an+1﹣nan=0,即

=

∴an=?…?=?…??1=. =

+…+

(2)证明:bn=a2n﹣1a2n+1=数列{bn}的前n项和为Tn==

即Tn<.

【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法、裂项求和方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.(12分)(2017春?洛阳期末)第35届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.

(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多

少种不同的分配方案?

(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设X,Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)

【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CG:离散型随机变量及其分布列.

【分析】(1)由题意可得:共有2种不同的分配方案.

(2)对于两个公园分配人数分别为:0,5;1,4;2,3;3,2;4,1;5,0.可得ξ=|X﹣Y|的取值分别为:1,3,5.于是P(ξ=1)=

,P(ξ=3)=

P(ξ=5)=.

【解答】解:(1)学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有2

=6种不同的分配方案.

(2)对于两个公园分配人数分别为:0,5;1,4;2,3;3,2;4,1;5,0. ∴ξ=|X﹣Y|的取值分别为:1,3,5. ∴P(ξ=1)=可得ξ分布列:

ξ P ∴Eξ=1×+2×

+3×

= 1 ==,P(ξ=3)===,P(ξ=5)=== .

3 5 .

【点评】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、组合数的计算公式、分类讨论方法、古典概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.(12分)(2017春?洛阳期末)如图,已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直,在直角梯形ABB1N中,AN∥BB1,AB⊥AN,CB=BA=AN=BB1. (1)求证:BN⊥平面C1B1N; (2)求二面角C﹣C1N﹣B的大小.

【考点】MT:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直的判定.

【分析】(1)证明BC⊥平面ABB1N,建立空间坐标系,利用向量证明BN⊥NB1,NB⊥B1C1,故而得出结论;

(2)求出两平面的法向量,计算法向量的夹角即可得出二面角的大小. 【解答】(1)证明:∵四边形BB1C1C是矩形,∴BC⊥BB1,

∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N,平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1,BC?平面BB1C1C,

∴BC⊥平面ABB1N,

以B为原点,以BA,BB1,BC为坐标轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,

设AB=1,则B(0,0,0),N(1,1,0),B1(0,2,0),C1(0,2,1),C(0,0,1) ∴∴

=(1,1,0),

=﹣1+1=0,

=(﹣1,1,0),

=0,

=(0,0,1),

∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1,又NB1∩B1C1=B1, ∴BN⊥平面C1B1N. (2)解:

=(﹣1,1,1),

=(﹣1,﹣1,1),

=(0,2,0), =0,

设平面BNC1的法向量为=(x,y,z),则∴

,令x=1得=(1,﹣1,2),

同理可得平面CNC1的法向量为=(1,0,1), ∴cos<

>=

=

∴二面角C﹣C1N﹣B的大小为30°.

【点评】本题考查了线面垂直的判定,空间向量在立体几何中的应用,空间角的计算,属于中档题.

21.(12分)(2017春?洛阳期末)已知椭圆C的方程为

+

=1(a>b>0),

双曲线4

﹣=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为

(1)求椭圆C的方程;

(2)设F1,F2分别为椭圆C的左,右焦点,过F2作直线l(与x轴不重合)交于椭圆于A,B两点,线段AB的中点为E,记直线F1E的斜率为k,求k的取值范围.

【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.

【分析】(1)由双曲线的渐近线方程及斜率公式,即可求得a2=3b2,c=2即a2+b2=8,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;

(2)设直线AB的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求得斜率丨k丨用t表示,利用基本不等式即可求得k的取值范围.

【解答】解:(1)由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,则=tan30°=a2=3b2,

,即,

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