山东交通学院概率作业纸答案(最新)

概率论与数理统计标准作业纸答案

第一章 随机事件及其概率

§1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率§1.3古典概率

一、单选题

1.事件AB表示 ( C )

(A) 事件A与事件B同时发生 (B) 事件A与事件B都不发生 (C) 事件A与事件B不同时发生 (D) 以上都不对

2.事件A,B,有A?B,则A?B?( B )

(A) A (B)B (C) AB (D)AB

3.设随机事件A和B同时发生时,事件C必发生,则下列式子正确的是( C )

(A)P(C)?P(AB) (B)P(C)?P(A)?P(B)

(C)P(C)?P(A)?P(B)?1 (D)P(C)?P(A)?P(B)?1

4.已知P(A)?P(B)?P(C)?11, P(AB)?0, P(AC)?P(BC)?。则事件A、416B、C全不发生的概率为( B )

5623(A) (B) (C) (D)

88885.已知事件A、B满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)?( A )

(A) 1?p (B) p (C)

pp (D) 1?

226.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则以下结论中正确的是( C )

(A)A和B都发生的概率等于1?p (B) A和B只有一个发生的概率等于1?p (C)A和B至少有一个发生的概率等于1?p(D)A发生B不发生或B发生A不发生的概率等于1?p

二、填空题

1.设A,B,C表示三个随机事件,用A,B,C的关系和运算表示 (1)仅A发生为:ABC;

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(2)A,B,C中正好有一个发生为:ABC?ABC?ABC; (3)A,B,C中至少有一个发生为:ABC;

BC,或者ABC.

(4)A,B,C中至少有一个不发生表示为:A2.设P(A)?0.3,P(A?B)?0.6,若A?B,则P(B)? 0.6 . 3.设随机事件A、B及AB的概率分别是0.4,0.3,和0.6.则P(AB)? 0.3 .

三、简答题

1.任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数.事件A表示“出现点数为偶数”,事件B表示“出现点数可以被3整除”,请写出下列事件是什么事件,并写出它们包含的基本事件. A,B,AB,AB,A B解:A表示“出现点数为偶数”,A??2,4,6? B表示“出现点数可以被3整除”,B??3,6?

,AB??2,3,4,6? AB表示“出现点数可以被2或3整除”

AB表示“出现点数既可以被2整除,也可以被3整除”,AB??6?

AB表示“出现点数既不可以被2整除,也不可以被3整除”,AB??1,5?

四、计算题

1.某城市家庭安装有线数字电视的占85%,安装网线的占70%,有线和网线至少安装一种的占95%.现从该城市任选一家庭,求: (1)该家庭两线都安装的的概率; (2)该家庭只安装其中一线的概率; (3)该家庭两线都不安装的的概率.

解 设A?{安装有线数字电视},B?{安装网线}, 则 A∪B?{有线和网线至少安装一种} . (1)P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.85?0.70?0.95?0.6.

(2)AB?AB?{只安装其中一线},

P(AB?AB)?P(A∪B)?P(AB)?0.95?0.6?0.35 .

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(3)P(AB)?1?P(AB)?1?0.95?0.05 .

§1.3古典概率

一、单选题

1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数是奇数的概率是( B )

1331 (B) (C) (D) 251010二、填空题

(A)

1.从装有3只红球,2只白球的盒子中任意取出两只球,则其中有并且只有一只红球的概

11C3C23率为? .

C5252.把10本书任意放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率为

3!8! . 10!3.为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队

19C2C1810被分在不同组内的概率为? . 1019C204.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球,则其中至少有一只红球的概率为

3C3341?3?(0.97).

C7355.掷两枚筛子,则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 . 6. 将一枚匀称的骰子抛掷两次,则两次出现的点数之和等于8的概率是

5. 36四、计算题

1.将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率 (1)A---任意3个盒子中各有一球;(2)B---任意一个盒子中有3个球; (3)C---任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球.

12131C4C3C3C43!3C491?解:(1)P(A)?3? (2)P(B)?3? (3)P(C)?. 381616444

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2.某产品有大、中、小三种型号.某公司发出17件此产品,其中10件大号,4件中号,3件小号.交货人粗心随意将这些产品发给顾客.问一个订货为4件大号、3件中号和2件小号的顾客,能按所定型号如数得到订货的概率是多少?

解 设A?{能按所定型号如数得到订货},

C4C3C2252 P(A)?1043??0.104

92431C173.电话号码由7个数组成,每个数字可以是0,1,2,… ,9中的任一个数字(但第一个数字不能为0),求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率. 解:设A表示电话号码是由完全不相同的数字组成

16A9A P(A)?196?0.0605

A9104.一批产品共20件,其中一等品9件,二等品7件,三等品4件。从这批产品中任取3 件,求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率;

(2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率. 解:设事件Ai表示取出的3件产品中有2件i等品,其中i=1,2,3;

12121C92C11?C7C13?C4C16 (1)P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?=0.671 3C20 (2)设事件A表示取出的3件产品中至少有2件等级相同,则

111C9C7C4P(A)?1?P(A)?1??0.779 3C20§1.4条件概率

一、单选题

1.事件A,B为两个互不相容事件,且P(A)?0,P(B)?0,则必有( B )

(A) P(A)?1?P(B) (B) P(A|B)?0

(C ) P(A|B)?1 (D) P(A|B)?1

2.将一枚筛子先后掷两次,设事件A表示两次出现的点数之和是10,事件B表示第一次出现的点数大于第二次,则P(BA)?( A )

1125 (B) (C ) (D) 34563.设A、B是两个事件,若B发生必然导致A发生,则下列式子中正确的是( A )

(A)

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(A)P(A?B)?P(A) (B)P(AB)?P(A) (C)P(BA)?P(B) (D)P(B?A)?P(B)?P(A)

4.袋中有5个球,3个新球,2个旧球,现每次取一个,无放回的取两次,则第二次取到新球的概率为 ( A )

33 (B) 54二、填空题

(A)

(C )

23 (D ) 4101.已知事件A的概率P(A)=0.5,事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BA)=0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)? 0.7 .

2.A,B是两事件,P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(B|A)?0.6,则P(A|AB)?

15?0.577 . 263.某厂一批产品中有4%的废品,而合格品中有75%的一等品.从该批产品中任取一件产品

为一等品的概率为 0.72 .

4.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为

1 . 65. 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是 0.5 .

6.试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案.若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85 .

三、计算题

1. 据多年来的气象记录知甲、乙两城市在一年内的雨天分布是均等的,且雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.求

(1) 某一天两市中至少有一市下雨的概率; (2) 乙市下雨的条件下, 甲市也下雨的概率; (3) 甲市下雨的条件下, 乙市也下雨的概率. 解 设A?{甲市下雨},B={乙市下雨}. 则 (1) P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.18?0.12?0.26 ;

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(2) P(A|B)?P(AB)0.12??0.67 ; P(B)0.18P(AB)0.12??0.6 . P(A)0.2(3) P(B|A)?2. 一人从外地到济南来参加会议,他乘火车的概率为0.5,乘飞机的概率为0.3,乘汽车的

概率为0.2.如果乘火车来, 迟到的概率为0.25,乘飞机来迟到的概率为0.12,乘汽车来迟到的概率为0.08. 求此人迟到的概率.

解 设A1={此人乘火车来}, A2={此人乘飞机来}, A3={此人乘汽车来}, B表示{此人迟到}. 由全概率公式得到

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.5?0.25?0.3?0.12?0.2?0.08?0.177

i?133. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查,求这件产品是次品的概率.

解 设B?{取到的是一件次品}, Ai?{所取到的产品来自甲、乙、丙车间}(i?1,2,3). 则

P(A1)?0.4,P(B|A1)?0.04,P(A2)?0.38,P(A3)?0.22,

P(B|A2)?0.03, P(B|A3)?0.05.

由全概率公式可得

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?0.4?0.04?0.38?0.03?0.22?0.05?0.0384.

§1.5 事件的独立性 §1.6 独立试验序列

一、单选题

1.设A、B是两个相互独立的随机事件,P(A)?P(B)?0,则P(A?B)?( B )

?P(B)(A) P(A) (B) 1?P(A) ?P(B)?P(B)(C) 1?P(A) (D) 1?P(AB)

2.设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(AB)=0.8,则下列结论正确的是( C )

(A) 事件A与B互不相容 (B) A?B

(C) 事件A与B互相独立 (D) P(A?B)?P(A)?P(B)

3.设P(AB)?0,则(A)

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(A) A,B互不相容 (B) A,B独立 (C)P(A)?0或P(B)?0(D) P(A|B)?P(A) 4.每次试验成功率为p(0?p?1),(1)进行10次重复试验成功4次的概率为(A ); (2)进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B ); (3)进行10次重复试验,至少成功一次的概率为( D ); (4)进行10次重复试验,10次都失败的概率为( C ).

4463461010 (A) C10p(1?p) (B) C9p(1?p) (C) (1?p) (D) 1?(1?p)

二、填空题

1.设A与B为两相互独立的事件,P(A?B)=0.6,P(A)=0.4,则P(B)= 1/3 . 2.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影响的,则加工出来的零件的次品率是 0.09693 .

3.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875,则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5 .

4.进行8次独立射击,每次击中目标的概率为0.3, 则8次中至少击中2次的概率为0.7447.

5.甲、乙两对进行排球比赛.如果每局甲队胜的概率为0.6,乙对胜的概率为0.4.比赛采取三局两胜制,则甲胜的概率为 0.648 ;如果比赛采取五局三胜制,则甲胜的概率为 0.682 .

6.射击运动中,一次射击最多能得10环.设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4,得9环的概率为0.3,则该运动员在三次独立的射击中得到不少于29环的概为 0.208 .

三、计算题

1.对同一目标进行三次射击,第一二三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,求 (1)三次射击中,恰好命中一次的概率;(2)至少命中一次的概率. 解:设事件Ai表示第i次命中,(i=1,2,3), 设B?{恰好命中一次},则P(B)?P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7 =0.36 . 设C?{至少命中一次},则P(C)?P(A1A2A3)

?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) ?1?0.6?0.5?0.3?0.91.

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2.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.

解:三个灯泡的使用时数显然是相互独立的,已知n?3,p?0.8,q?0.2

003112 P(0?m?1)?P3(0)?P3(1)?C3?0.8?0.2?C3?0.8?0.2

=0.104 .

3.一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人看管的概率:第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率. 解:设事件Ai表示第i台车床不需要照管,事件Ai表示第i台车床需要照管,(i=1,2,3), B?{三台车床中最多有一台需要工人看管}, 则P(B)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.9?0.8?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3

=0.902 .

第一章 练习题

1.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝,当电流强度超过一定值时,它们单独烧断的概率分别为0.8和0.9,同时烧断的概率为0.72,求电流强度超过这一定值时,至少有一根保险丝被烧断的概率.

解:设A,B分别表示甲、乙保险丝被烧断

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?0.8?0.9?0.72?0.982.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离变成为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米。假定最多进行三次射击,设击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率.

解:设第i次击中的概率为pi ,(i=1,2,3)因为第i次击中的概率pi与距离di成反比, 所以设pi?k,(i=1,2,3); di由题设,知d1?100,p1?0.6,代入上式,得到k?60

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再将k?60代入上式,易计算出p2?6060?0.4,p3??0.3. 150200 设事件A表示猎人击中动物,事件Bi表示猎人第i次击中动物(i=1,2,3),则

P(A)?1?P(B1B2B3)?1?0.4?0.6?0.7?0.832.

3.袋中有a个白球与b个黑球。每次从袋中任取一个球,取出的球不再放回去。求第二

取出的球与第一次取出的球颜色相同的的概率.

解:设事件A表示第一次取出白球,事件B表示第二次取出白球,则事件A表示第一次取出黑球,事件B表示第二次取出黑球. 所求概率为:

P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?aa?1bb?1+ ??a?ba?b?1a?ba?b?14. 盒中放有12个乒乓球,其中有9个是新球。第一次比赛时从中任取3个来用,比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出的球都是新球的概率. 解:设事件Bi表示第一次比赛时用了i个新球(i=0,1,2,3),事件A表示第二次取出的球都是新球,则

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)

i?03331312333C3C9C32C9C8C3C9C7C9C6?3?3?3?3?3?3?3?3?0.146 C12C12C12C12C12C12C12C125.设甲箱中只有5个正品和3个次品, 乙箱中只有4个正品和3个次品. 现从甲箱中任取3

个产品放入乙箱, 然后从乙箱中任取1个产品.求这个产品是正品的概率.

解 设A?{从乙箱中取出的是正品},

Bi?{从甲箱中取出的3个产品中有i个次品}(i=0,1,2,3)

由全概率公式得

P(A)=

?P(B)P(AB)

iii?14 =

10730615514329???????=≈0.5875. 56105610561056105606.一工厂有两个车间,某天一车间生产产品100件,其中15件次品;二车间生产产品50件,其中有10件次品,把产品堆放一起(两车间产品没有区分标志),求:(1)从该天生

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产的产品中随机取一件检查,它是次品的概率;(2)若已查出该产品是次品,则它是二车间生产的概率.

解:(1)设事件“取的产品来自1车间”为A1,事件“取的产品来自2车间”为A2, “从中任取一个是次品”为B,

211P?B??P?B|A1?P?A1??P?B|A2?P?A2???0.15??0.2? .

336(2) P?A2|B??P?A2B?P?B|A2?P?A2?2?? .

P?B?P?B?57.设某型号的高射炮, 每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6. 现配置若干门炮独立

的各发射一发炮弹, 问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮? 解 设n是以99%的概率击中敌机需配置的高射炮门数.

记Ai={第i门炮击中敌机}(i=1,2,…,n), A={敌机被击中}. P(A)=1-P(A)=1-P(A1A2…An) =1-P(A1)P(A2)…P(An) =1-(0.4)n. 因此,按要求P(A)=1-(0.4)n≥0.99, 即(0.4) n ≤0.01. 解之, 得

n≥

lg0.01≈5.026. lg0.4可见, 至少需配置六门高射炮才能以99%以上的把握击中来犯的这架敌机.

8.甲乙丙三人同时向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。如果只有一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;如果有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6;如果是三人都击中,则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率.

解:设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机,事件Di表示有i个人击中飞机(i?1,2,3), 则 P(D1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(D2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41 P(D3)?0.4?0.5?0.7?0.14

设E表示飞机被击落,则

P(E)??P(Di)P(E|Di)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458.

i?13

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第二章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布

一、单选题

1. 设离散随机变量X的分布律为:

P{X?k}?b?k,(k?1,2,3?),??1, 且b?0,则?为( C )

(A) ??0 (B)??b?1 (C)??2.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p), 若P?X?1??11 (D)?? 1?bb?15,则P?Y?1??9 (B)

( C )

(A)

341729 (C)

1927 (D)

7 93.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )

32,b??55二、填空题

(A)a?(B)a?22,b?33(C)a??13,b?22(D)a?13,b?? 221.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为

41, 失败的概率为, 将试验进行到出现55一次成功为止, 以X表示所需试验次数, 则X的分布律是

14P?X?k??()k?1? , k?1,2,?

552.如果随机变量X的分布律如下所示,则C? 25/12 . X 0 1 2 3 P 1111 2C3C4CC3.设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知P?X?1??P?X?2?, 则 P?X?4?=2?2e(0.0902) . 3第 11 页

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三、计算题

X1.设随机变量X的概率分布为

P?10113611 2求X的分布函数.

?0,?1?,?3解:F(x)???1,?2?1,?当x??1当?1?x?0

当0?x?1当x?12. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X表示取出的3个球中的最大号码, 试求X的概率分布.

解:X的可能取值为3、4、5,计算得X的概率分布为: X 3 4 5 P

313 105103.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为?的泊松分布,即X~P(?),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; (2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率. 解: ?X~P(?)?P{X?k}??ke??k!,k?0,1,2?

根据题意 P{X?8}?2.5P{X?10}, 即

?8e??8!?2.5??10e??10!,解得 ??36,??6.

268e?6610e?6(1)P{X?8}??0.1033P{X?10}??0.04138!10! (2)P{X?0}?e??e?6?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975.

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§2.3 连续型随机变量及其概率密度

一、单选题

1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数,下列选项中错误的是( A )

(A) 0?f(x)?1 (B) 0?F(x)?1

(C)

?????f(x)dx?1 (D) f(x)?F'(x)

2.下列函数中,可为随机变量X的密度函数的是( B )

?sinx, (A) f(x)???0,??sinx,(C) f(x)????0,0?x??其它??sinx, (B)f(x)????0,0?x?其它?2

0?x?3?2 (D)f(x)?sinx,???x??? 其它?0,x?(?)?2?x3.设F(x)??,(?)?x?2,当(*)取下列何值时,F(x)是连续型随机变量的分布函

?4??1,x?2数.( A )

(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5 4.在区间??1,2?上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是( B )

?3,(A) f(x)???0, (C) f(x)?3,?1?x?2其它?1?, (B)f(x)??3??0,?1?x?2其它

1,???x??? 35.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是( C )

???x??? (D)f(x)??2e?2x, (A) f(x)???0,x?0x?0 (B) f(x)?2e?2x,???x???

第 13 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

x?1?12?e, (C) f(x)??2?0,?2x?0x?0x1?12f(x)?e, (D)

2???x???

6.设X~N(?,?),那么当?增大时,则P(X????)( C ) (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 7.随机变量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},则??( B )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空题

1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(1)A????x???

1111; B? ;(2)P(?1?X?1)? 0.5 ;(3)概率密度f(x)?? . 2?1?x2?2.设随机变量X在在区间??1,2?上服从均匀分布,则 (1)P(?6?x??1)? 0 ; (2) P(?4?x?1)?2 ; 3⑶ P(?2?x?3)? 1 ; (4) P(1?x?6)?1 . 33. 多年统计表明, 某厂生产的电视机的寿命X~e(0.2)(单位: 万小时). 某人购买了一台该厂生产的电视机, 其寿命超过4万小时的概率为e4.设随机变量X~N(100,?0.383 .

2?0.8?0.4493.

),且P(X?103)?0.3085,则P(97?X?103)?

三、计算题

?c?x,?1. 设随机变量X的概率密度:f(x)??c?x,?0,?求:(1)常数c;(2)概率P(X?0.5) .

?1?x?00?x?1 x?1第 14 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

解:(1)

?0?1(c?x)dx??(c?x)dx?1,c=1

01 (2) P(X?0.5)=

?0?0.5(1?x)dx??(1?x)dx?0.75.

00.52.设随机变量X在区间?2,5?上服从均匀分布,对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

?1?,解:X的概率密度为f(x)??3??0,2?x?5其它,设Y为对X进行三次独立观测时测值

2f(x)dx?. ?332022330则P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3p(1?p)?C3p(1?p)?.

273. 设随机变量X的概率密度为

大于3的次数,则Y~b(3,p),其中p?P{X?3}?5f(x)?Ae?x,???x???

求: (1)系数A; (2)P(0?X?1).

????解(1) 因为:

???f(x)dx????Aedx?1

?x所以 A?0.5

1(2) P(0?X?1)=Ae0??x111dx??e?xdx=(1?)?0.316

2e20214.设随机变量X服从正态分布N(1,2),求下列概率:

(1)P(X?2.2)=0.7275 (2)P(?1.6?X?5.8)=0.8950 (3)P(X?3.5)=0.8822 (4)P(X?4.56)=0.0402 §2.4

随机变量的函数及其分布

一、计算题

1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4),求下列随机变量函数的概率分布:

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概率论与数理统计标准作业纸答案

(1)Y?2X?1 (2)Y?X2?X (3)Y?答案(1) Y p (2) Y p (3) Y p 0 0.216 1 0.432 0 0.648 2 0.288 -1 0.216 1 0.432 X(X?1) 23 5 0.064 0.288 6 0.064 3 0.288 ,

6 0.064 ?2x,2.设随机变量X的概率密度f(x)???0,求下列随机变量的概率密度:

0?x?1其它(1)Y?1?2X (2)Y?1?2X (3)Y?X 答案

2?y?1,?(1)fy(y)??2??0,1?y?3?1?y,? (2)fy(y)??2?其它?0,2?1?y?1其它

y?0??0,(3)解:FY(y)?P?Y?y??P?X?y???

P?y?X?y,y?0????当y?0时, FY(y)?P?y?X??y?FX(y)?FX(?y) 1)?12y(fX(y)?fX(?y))?fY(y)?fX(y)当0?12y?fX(?y)(?2y

y?1时,即0?y?1,fX(y)?2y 而?y?0时,fX(?y)?0

?1,?fY(y)???0,0?y?1其它 .

3.设随机变量X的概率密度为

第 16 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

?2e?2x,f(x)???0,求随机变量Y?2X的概率密度fY(y).

x?0x?0

?e?y,答案 fY(y)???0,y?0y?0

4.设随机变量X的概率密度为:

?x?,0?x?4,fX(x)??8??0,其他

求随机变量 y?2X?8的概率密度. 解:先求出y的分布函数:

FY(y)?P(Y?y)?P(2X?8?y)

y?8y?8???P?X???????2fX(x)dx

2??两边同时对y求导数, 得y?2X?8的概率密度为:

?1?y?8?1y?8?,0??4?2y?81?22?8??fY?y??fX()????

22?0,其它,???y?8,8?y?16???32?0,其它?

第二章 练习题

1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和

绿,与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X的概率分布. 解:

X 0 1 2 3 P

1111 2 3 3 22222.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭,每个纱锭旋转时,由于偶然的原因,纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005,求在这段时间内断纱次数不大

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于10的概率.

解:设X表示一段时间内断纱的次数,则X~B(800,0.005) 由于n=800足够大,X还近似服从P(4)

4ke?4 P(0?X?10)??=0.997.

k!k?0103. 确定常数c, 使如下函数

成为某个随机变量的概率密度. 解 令

??1 0≤x≤1,?cx,   ?g(x)??c(2?x),  1?x≤2,?0,    其它?

3c?2c?c?1, 得c?1. ???0122显然, 非负性g(x)?0(X?(??,??))满足.

g(x)dx??cxdx??c(2?x)dx?21所以, 函数g(x)在c?1条件下可以作为某个连续型随机变量的概率密度. 4.设随机变量X的概率密度

?Ax2e?x,f(x)???0,求:(1)常数A;(2)概率P(X?1). 解:(1)

x?0x?0

??0Ax2e?xdx?A?(3)?2A?1,?A?1 2(2)P(X?1)???112?x5xedx?e?1=0.9197 (分部积分法). 225.向某一目标发射炮弹,设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度

x?1??xe2500,f(x)??1250?0,?2x?0x?0

如果弹着点距离目标不超过50m时,即可摧毁目标.求:

求:(1)发射一枚炮弹,摧毁目标的概率;

(2)至少应发射多少枚炮弹,才能使摧毁目标的概率大于0.95?

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解:(1)P(X?50)??5001xe1250n?x22500dx?1?e?1?0.6321

(2)1?(1?0.6321)?0.95,解得n?3

6.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:h)都服从同一指数分布,

1x?1?600e,?概率密度为:f(x)??600?0,?x?0x?0

试求:在仪器使用的最初的200h内至少有一只电子元件损害的概率.

?x11?600edx?e3 (一只没损害的概率) 解:P(X?200)??200600设A表示最初的200h内至少有一只电子元件损害

3?1?13??P(A)?1??e??1?. e??7. 设随机变量X的概率密度为

fX(x)?求:随机变量Y?1?31,???x???,

?(1?x2)X的概率密度fY(y).

3解:FY(y)?P(X?(1?y))?1??(1?y)3??1dx

?(1?x2)3(1?y)2fY(y)?,???y??? 6???1?(1?y)??8. 设随机变量X服从指数分布e(?),其中??0,求随机变量函数Y?e的概率密度.

X??e??x,解:fX(x)???0,x?0 其它??0,y?0FY(y)?P?Y?y??P?eX?y???

??P?X?lny?,y?0当y?0时, FY(y)?P?X?lny??FX(lny)

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fY(y)?fX(lny)1 y??lny??y?? 当lny?0时,即y?1,fX(lny)??e??y?(??1), ?fY(y)???0,y?1 y?1第三章 二维随机变量及其分布

§3.1 二维随机变量及其分布

一、单选题

?e?(x?y),x?0,y?0;1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)??

其他.?0,则P(X?Y)? ( A )

(A)0.5 (B)0.55 (C) 0.45 (D)0.6

2.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示以下哪个随机事件的的概率?( B ) (A)?X?x??Y?y? (B)?X?x??Y?y?

(C) X?x?y (D)X?x?y

二、填空题

1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan则系数A=

x2y) 31?2,B=

?2,C=

?2, (X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)?6 . 222?(x?4)(y?9)2.已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),R为一平面区域,则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=

??xy????f(x,y)dydx ,P??X,Y??R??

??f(x,y)dxdy,

R第 20 页

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F(??,??)? 1 ,F(x,??)? 0 ,F(??,y)? 0 ,F(??,??)? 0 。

3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?Ae?(2x?y),x?0,y?0, f(x,y)???0,其他.则 A?2 ;P{X?Y}?x?y?0??f(x,y)dxdy??+?0?+?x2e?(2u?v)dvdu?2. 34.设D是平面上的一个有界区域,其面积为A,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从二?1?,?x,y??D;维均匀分布,则(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)? ?A

?0,?x,y??D.?三、计算题

?e?y,0?x?y1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

?0,其他(1)求P{X?Y?1};(2)求联合分布函数F(x,y). 解(1)P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?0?x?y1201?xxedy?1?e-2e

?y-1?12?1?e?x?xe?y(2)F(x)???0 .

2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?Ae?(x?2y),x?0,y?0;f(x,y)??

其他.?0,试求(1)常数A ; (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解:(1)由于 故

??????????f(x,y)?1,

??0????0Ae?(x?2y)dxdy?A?1,所以A?2 221(2)P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4) .

第 21 页

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§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性

一、单选题

1.(X,Y)为二维连续随机变量,对任意的实数x,函数P?X?x,Y????为 ( B ) (A)关于随机变量Y的边缘分布函数 (B)关于随机变量X的边缘分布函数 (C)(X,Y)的联合分布函数 (D)以上都不对

二、填空题

1.下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值,试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? x1 1 241 8 1 81 121 43 41 x2 P{Y?yi}?p?j3 81 21 41 31 62.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23则X的边缘分布函数为FX(x)?F(x,??)?11x?arctan , Y的边缘概率密度为2?2fY(y)?FY?(y)?F?(??,y)?3. 2??y?9?3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则随机变量X的边缘分布函数为

FX(x)?F(x,??),随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y).

4. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量X的边缘概率密度为

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fX(x)??????f(x,y)dy,随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx.

三、计算题

?e?y,0?x?y1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??,求X的边缘

?0,其他概率密度fX(x). 解 x?0时,fX(x)????xe?ydy?e?x,x?0时,fX(x)?0故

?e?x,x?0 fX(x)??x?0?0,2.已知随机变量X1和X2的概率分布如下

X1 ?1 0 11P 4 2 1 14

X2 0 1P 2 1 12 而且P{X1X2?0}?1.(1)求X1和X2的联合分布;(2)问X1和X2是否独立?为什么? 解 (1) P{X1X2?0}?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0

?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0

X1 X2 ?1 0 0 1 21 0 1 1 41 40 0 (2)因为P{X1?0,X2?0}?0,P{X1?0}P{X2?0}?1?0,所以X1和X2不独立. 4?2e?(x?2y),x?0,y?03.已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其他.?0,随机变量X和Y是否独立?

第 23 页

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?e?x,x?0?2e?2y,y?0解 由于 fX(x)??, fY(y)??.

0,x?00,y?0??故f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.

?§3.4 二维随机变量函数的分布

一、单选题

1. 设X和Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX(x),FY(y),则

Z?min{X,Y}的分布函数是 ( D )

(A)FZ(z)?FX(x) (B)FZ(z)?FY(y)

(C)FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? (D)FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)? 2. 设X和Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX(x),FY(y),则

Z?max{X,Y}的分布函数是( B )

(A)FZ(z)?max?FX(x),FY(y)? (B)FZ(z)?FX(x)FY(y)

(C)FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? (D)FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)?

二、填空题

1. 已知随机变量X与Y独立,且

XN?0,1?,Y14?eN?1,22?,

2则 Z?2X?Y?3的概率密度fZ(z)???z?2?/16,z?R.

2.设X和Y为两个随机变量,且P{X?0,Y?0}?3,P{X?0}?P{Y?0} 754?.则P{max(X,Y)?0}? .

77三、计算题

1. 设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律, 且X的分布律为

第 24 页

概率论与数理统计标准作业纸答案 X P 求随机变量Z?max{X,Y}的分布律.

0 1 12 12 解 由题设知, Z的可能取值为0,1.

Z?max{X,Y}?0即意味着X?0,Y?0. 又由于X和Y相互独立, 所以

P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}?P{Y?0}?又 P{Z?1}?1?P{Z?0}?1?故Z?max{X,Y}的分布律为

111??. 22414?34.

Z P

0 1 14 34 2. 设随机变量X与Y相互独立,其概率密度分别为

?e?y?1,0?x?1 fY(y)??fX(x)??其它?0,?0求它们的和Z?X?Y的概率密度. 解:fZ(z)?y?0y?0

?10fY(z?x)dx??zzz?1fY(t)dt

z?0,fZ(z)?0;0?z?1,fZ(z)??e?tdt?1?e?z;

0z?1,fZ(z)??e?tdt?e1?z?e?zz?1z?1?e?z0?z?1?1?z?zz?1 故:f(x)??e?e?0z?0?

第三章 练习题

1.把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数 ,而 Y为正面出现次

第 25 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

数与反面出现次数之差的绝对值 , 求(X,Y)的分布律以及关于X、Y的边缘概率分布 .

解 X的可能取值为0,1,2,3;Y的可能取值为1,3

并且 (X,Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)

11P{X?0,Y?3}?()3?

2831112P{X?1,Y?1}?C3()()?

22832121 P{X?2,Y?1}?C3()()?

22811P{X?3,Y?3}?()3?

28得(X,Y)的分布及关于X、Y的边缘概率分布为

Y X 1 3 P{Xi} 1 83 83 81 81 0 1 0 3 83 81 80 0 1 82 82 3 0 6 8P{Yi} 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?Ae?2(x?y),f(x,y)???0,(1) 确定常数A;

(2) 求(X,Y)的分布函数F(x,y);

x?0,y?0,其它.

第 26 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

(3) 求关于X和Y的边缘概率密度fX(x), fY(y); (4) 计算概率P(X?1,Y?2); (5) 计算概率P{X?Y?1}; (6) 随机变量X和Y是否独立? 解 (1) 由联合概率密度的性质有

1???????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?2(x?y)dxdy?A4,

故得 A?4.

(2) 由概率密度的定义知, 分布函数F(x,y)?当X?0或Y?0时, f(x,y)?0 , 故

????xy??f(x,y)dxdy,

F(x,y)?0.

当X?0且Y?0时,

F(x,y)??[?4e?2(x?y)dy]dx=(1?e?2x)(1?e?2y).

00xy 所以

?(1?e?2x)(1?e?2y),F(x,y)???0,(3) X的边缘分布函数为

?2x??1?e,FX(x)?F(x,??)????0,x?0,y?0,其它.

x?0,x?0.

故关于X的边缘概率密度为

?2e?2x,?(x)??fX(x)?FX?0,同理,关于Y的边缘概率密度为

x?0, x?0.??2e?2y,fY(y)????0,第 27 页

y?0,

y?0.概率论与数理统计标准作业纸答案

(4) P(X?1,Y?2)?F(1,2)?(1?e)(1?e) . ( P(X?1,Y?2)?(5) P{X?Y?1}??2?4??0120f(x,y)dxdy?(1?e?2)(1?e?4) )

x?y?1??f(x,y)dxdy???x?y?1x?0,y?04e?2(x?y)dxdy

??[?011?x04e?2(x?y)dy]dx?1?3e?2.

(6) 显然 f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.

第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

一、单选题

1.掷6颗骰子,令X为6颗骰子的点数之和,则E(X)?( D )

(A)42 (B)21/2 (C)7/2 (D) 21

二、填空题

?kx?,0?x?1,1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 其中k,??0,又已知

?0,其它,E?X??0.75,则k? 3 ,?? 2 2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望EX?e?2X? 4/3 ??三、计算题

1.袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,现从中任意抽取3个球,用X表示取出的3个球的最大编号,求E?X?. 解:X的分布律为

X p 则E?X??4.5。

3 4 5 1 103 103 5第 28 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

2.设X的分布律为

X p -1 0 1 2 3 1 31 61 61 121 4求:E?X?,E??3X?2?,EX2. 解:E?X????31,E??3X?2???3E?X??2?? 441 0 1 4 9 X 2p E?X2??37 121 31 61 61 121 4?cxy,x?0,x2?y?13.二维随机变量(X,Y)的概率密度为:f(x,y)??,求: E(X)。

?0,其它解:

E(X)???????????xf(x,y)dxdy?6?11x0222xydydx?3x?2?y01y?1y?x26dx?3(x?x)dx?2?014 74. 设(X,Y)在A上服从均匀分布,其中A为x轴,y轴及直线x?y?1?0所围成的区域,求E?X?,E??3X?2Y?,E?XY?.。 解:因为A的面积为

1,所以(X,Y)的概率密度为 2?2,?1??1?y?x?0f(x,y)??

0,其它,?E?X???E?Y?????????????xf(x,y)dxdy??2x??101dydx?? ?1?x30????????1yf(x,y)dxdy??

31E??3X?2Y???3E?X??2E?Y??

3E?XY????????????xyf(x,y)dxdy??2xydx??100?1?xdy?1 12第 29 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

§4.2 方差与标准差

一、单选题

1.对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)?E(X)E(Y),则( D )

(A)D(XY)?D(X)D(Y) (B)D(X?Y)?D(X)?D(Y) (C)X和Y独立 (D)X和Y不独立

2.设随机变量?和?相互独立,又X?2??5,Y?3??8,则下列结论不正确的是( B )

(A)D(X?Y)?4D(?)?9D(?) (B)D(X?Y)?4D(?)?9D(?) (C)E(X?Y)?E(X)?E(Y) (D)E(XY)?E(X)E(Y) 3.随机变量X则( A )

( A ) a?1,b?3 ( B ) a?2,b?4 ( C ) a??1,b?1 ( D ) a?0,b?4

1U(a,b),即X在区间(a,b)上服从均匀分布,且E(X)?2,D(X)?,3二、填空题

1.设X服从泊松分布,已知E?(X?1)(X?2)??1,则E?X?? 1

2.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,,每次射中目标的概率为0.4,则X的数学期望EX2? 18.4 3.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?则E?X?? 1 D?X?? 0.5

2??1?e?x2?2x?1,

?1,X?0,?4.设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布,随机变量Y??0,X?0, 则方差

??1,X?0,?第 30 页

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D?Y?2??8 9三、计算题

1.随机变量X与Y相互独立,它们的分布律分别为:

0 X ?2 ?1 1 0.3 0.2 0.3 0.2pk Y pk ?1 0.3 0 0.5 1 0.2 求:(1)E(2X?3Y);(2)D(2X?3Y) 解:(1)E(X)??0.6,E(Y)??0.1

E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?(?0.6)?3(?0.1)??0.9

(2) 1 4 X2 0 0.3 0.4 0.3 pk Y2 pk 0 0.5 1 0.5 E(X2)?1.6,E(Y2)?0.5?D(X)?E(X)?E(X)?1.6?0.36?1.2422

D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?0.5?0.01?0.49

D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?4?1.24?9?0.49?9.37

2.设随机变量X的概率密度为f(x)??解:

?2x,0?x?1;求D(X).

0,其他.?第 31 页

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E?X???E?X2????2xf(x)dx??2x2dx?,031211xf(x)dx??2x3dx?, ??0221D(X)?E?X2???EX??????18.?????3. 二维随机变量(X,Y)在区域A?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}上服从均匀分布,即

?c,0?x?1,0?y?x,求D?X?.。 f(x,y)???0,其它解:二维随机变量(X,Y)在区域A上服从均匀分布,?c?1?2 S(A)y?x11E(X)??E(X2)?????????????2x322xf(x,y)dxdy???2xdydx??2xyy?0dx??(2x)dx??00003031x11x1y?x11???????2x412223xf(x,y)dxdy???2xdydx??2xydx??(2x)dx??y?000004022D(X)?E?X2????E?X????1. 18第五章 大数定律和中心极限定理

一、填空题

1.设随机变量X的方差为,根据切比雪夫不等式有估计P{X?E(X)?2}?___12___

二、计算题

1.计算机在进行数值计算时,遵从四舍五入的原则。为简单计,现对小数点后第一位进行舍入运算,则误差X可以认为服从均匀分布U(?0.5,0.5),若在一项计算中进行了100次

数值计算,求平均误差落在区间[?33,]上的概率。 2020解:设Xi表示第i次运算的误差,i?1,2,,100.

XiU(?0.5,0.5),?E(Xi)?0,D(Xi)?1. 12第 32 页

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因为100比较大,所以总误差

?Xi?1100100i近似服从正态分布。

E(?Xi)??E(Xi)?50,D(?Xi)??D(Xi)?i?1i?1i?1i?1100100100100, 1211001X所以平均误差X?近似服从正态分布,E(X)?0,D(X)?. ?i100i?11200?P{?33X?0?X?}?P{?3??3}??(3)??(?3)?2?(3)?1=0.9974

120202032.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值.

( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算. ?(2.5)?0.9938,?(1.5)?0.9332 )

100,解: X~B(0.2) , 因为 n?100 较大,

所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P(14?X?30)??(30?2014?20 )??()44 ??(2.5)??(?1.5)

?0.9938?(1?0.9332)?0.927

3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查:

(1)抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率; (2)抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率。 ( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. ?(1.25)?0.8944 ) 解:设X表示发生故障的家电数,则

第 33 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

(1) X~B(4,0.2)

P(X?1=P(X?0)+P(X?1 )) =0.8+C4?0.2?0.8?0.8192

413100,(2) X~B(0.2) , 因为 n?100 较大,

所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P(X?25)?1?P(X?25)?1??(25?20 )4 ?1??(1.25)?1?0.8944?0.1056

第四五章 练习题

一、单选题

1.设随机变量X,Y相互独立,且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4),则 E(2X?Y)?( B )

2(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9

解(B)由已知条件可得E(X)?3,D(X)?2.1,E(Y)?4,D(Y)?2.4

所以E(2X?Y)2?[E(2X?Y)]2?D(2X?Y)?[2E(X)?E(Y)]2?4D(X)?D(Y)?14.82.设随机变量X~N(1,4),Y~N(1,2),已知X,Y相互独立,则3X?2Y的方差为( D )

(A).8 (B).16 (C).28

(D).44

二、填空题

?a?bx2,0?x?131.设随机变量X的概率密度为f(x)??,已知E(X)?,则D(X)?

5其他?0,2/25

第 34 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

解由1=???1??f(x)dx??0(a?bx2)dx?a?13b得3a?b?3

再由35=E(X)??????xf(x)dx??10(a?bx2)dx?12a?1124b得2a?b?5联立(1)、(2)两式解得a?365,b?5,代入f(x)表达式中即得D(X)?E(X2)?(EX)2????x2f(x)dx?(3)2??5

?35?10x2(1?2x2)dx?9119225?25?25?25.2.设随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从参数为

?的泊松分布,Y?13(X1?X2?X3),则E(Y2)??2?13? 解E(Y)?13(EX111?EX2?EX3)??,D(Y)?9(DX1?DX2?DX3)?3?,故E(Y2)?(EY)2?D(Y)??2?13?,所以应填?2?1

3?.3.设随机变量X,Y的分布列分别为

X 1 2 3 Y -1 0 1 P 111, 113 6 2 P 124 4 且X,Y相互独立,则E(XY)=__-13/24__

三、计算题

1.把4个球随机地放入4个盒子中去,设X表示空盒子的个数,求E?X?。

4解: (法一)P?X?0??A46C1234C4A344?64,P?X?1??44?3664 P?X?2??C2(24?2)21C344144?64,P?X?3??44?64 所以 E?X??0?664?1?3664?2?2118164?3?64?64 第 35 页

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44?1,第i个盒子中没有球(法二)设Xi??,则X=?Xi,E(X)=?E(Xi)

0,第i个盒子中有球i?1i?1?4348134P?Xi?1??4,所以E(X)=?E(Xi)?4?4?

4644i?1?e?x,x?0;2. 设随机变量X的概率密度为f(x)??

?0,x?0.?2X求:(1)Y1?2X的数学期望;(2)Y2?e的数学期望.

解:E(2X)?2E(X)?2,

????E(e?2X)??e???2xf(x)dx??011edx?(?e?3x)?

330?3x??1?xe,???x???.求E(X),D(X). 2??01??1解:E(X)??xf(x)dx??xexdx??xe?xdx?0

????202??01??1E(X2)??x2f(x)dx??x2exdx??x2e?xdx?2

????2023. 设随机变量X的概率密度为f(x)?D(X)?E?X2????E?X????2.

24.一学校有10000名学生,每人以80%的概率去图书馆上自习,问图书馆至少应设置多少个座位才能以95%以上的概率保证去上自习的学生都有座位。(?(1.645)?0.95) 解:设应设置M个座位才能以95%的概率保证去上自习的学生都有座位, 设上自习的学生数为X,则Xb(10000,0.8),

E(X)?np?10000?0.8?8000,D(X)?npq?10000?0.8?0.2?1600,

n?10000较大,故X近似服从N(8000,1600)

M?8000?X?8000M?8000?P?X?M??P???()?0.95?4040?40?

M?8000??1.645,M?8000?1.645?40?8065.840故至少应设置8066个座位。

第 36 页

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第六章 数理统计的基本知识

一、单选题

1.设总体XN(?,?2),,其中?已知,?未知,X1,X2,X3是来自总体的样本,则下

列不是统计量的是( C )

2(A)X1?X2?X3(B)max{X1,X2,X3}(C)?(X1?X2?X3)(D)

1(X1?X2?X3) 42.设X1,X2,?,Xn独立且服从同一分布N(?,?),X是样本均值,记1n2??S?X?X?in?1i?121242,

1n2S???Xi?X?ni?122,

1n?Xi???2S??n?1i?123,

1n2S???Xi???,则下列服从t(n?1) 的是 ( A )

ni?1(A)t?X??X??X??X?? (B)t? (C)t? (D)t?

S3S1S2S4nnnn3.总体X服从正态分布N(?1,4),X为其容量为100的样本的样本均值,则服从正态分布N(0,1)的是 ( A )

1111X? ( A ) 5X?5 ( B ) 5X?5 ( C ) X? ( D ) 55554.X1,X2,,Xn是来自正态总体N(?,?2)的样本,X为样本均值,S2为样本方差,

则下列不正确的的是 ( C )

( A ) XN(?,?2n) ( B )(X??)n?(n?1)S2N(0,1)

(X??)n( C )

St(n) ( D )

?2?2(n?1)

二、填空题

1.随机变量XN(0,1),Y?2(9),且X与Y相互独立,则第 37 页

XYt(9)

9概率论与数理统计标准作业纸答案

2222.X1,X2,X3是来自标准正态总体N(0,1)的样本,则X1?X2?X3?2(3)

3.已知某总体X的样本值为99.3,98.7,100.05,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,则样本均值x= 99.93 ,样本方差s= 1.43 4.设总体X~N(?,4),X1,X2,202,X20为取自总体X的一个容量为20的样本,则概率

P(46.8??(Xi?X)2?154.4)?= 0.895 i?15.从总体N(63,49)中抽取容量为16的样本,则P(X?60)= 0.0436 6.X1,,X5和Y1,,Y8是分别来自正态总体N(1,5)和N(?2,16)的两个独立样本,

则 X?2Y7.设X1,X2,N(5,9)

,X10为N(0,0.3)的一个样本,则P{?Xi2?1.44}= 0.1 .

210i?1三、计算题

1.设总体X~N(?,?),X1,X2,2,X16为取自总体X的一个容量为16的样本,样本均

方差s=2.309,求概率P(|X??|?0.4)。 解: 由题意知 t?X??Snt(n?1)

n?15 t?X??Snt(15)

X??0.4?] = P[t?0.692]

S/nS/nP[X???0.4] = P[= 1-2P[t?0.692]= 1-2?0.25 =0.5

第七章 参数估计 §7.1 点估计

第 38 页

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一、单选题

1. 总体均值E(X)的矩估计值是( A )

(A)x (B)X (C)x1 (D)X1

2.X1,X2,X3是来自总体X的样本,且E(X)??,D(X)??,则下列不是?的无偏估计的是( D ) ( A ) X2 ( B )

2X1?X2?X3XXXXXX ( C ) 1?2?3 ( D ) 1?2?3

342463323.X1,X2,X3是来自正态总体N(?,?)的样本,下列?的无偏估计量中最有效的是( A )

( A ) X ( B ) X2 ( C )

12111X1?X3 ( D ) X1?X2?X3 33424二、填空题

1.设总体X在区间?0,??上服从均匀分布,其中??0为未知参数.如果取得样本观测值为

x1,x2,?,xn,则参数?的矩估计值为 2 x 2.设总体X的均值E(X)??,方差D(X)??,则X是总体均值的无偏的、有效的、一致的估计量, S 是总体方差的无偏的、有效的、一致的估计量

22三、计算题

1.设总体X具有分布律

X p 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得样本值x1?1,x2?2,x3?1,试求?的矩估计值和极大似然估计值。 解 :(1)令X?E(X),

第 39 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

x1?x2?x31?2?1???2?4?(1??)?3(1??)2

334??5为矩估计值。 即:??2??3,求得?36具体地,x? (2)似然函数为L(?)??p(x,?)??ii?1322?(1??)?2?2?5(1??)

取对数,得lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)于是,得

dlnL(?)51??5。 ???0.由此可得参数的极大似然估计值为求得?d??1??62. 设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,?.如果取得样本观测值为

x1,x2,?,xn,求参数p的矩估计值与极大似然估计值。

解:由已知可得

11n1v1(X)?E(X)?,所以??xi?x

pni?1p似然函数为L(p)??(p(1?p)i?1nxi?1)?p(1?p)i?1n?xi?nn

取对数,得lnL(p)?nlnp?(?xi?1ni?n)ln(1?p).于是,得

ndlnL(p)n11??. ??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pdpp1?pi?1x3. 设某厂生产的灯泡的寿命T服从寿命为?的指数分布,即T效的时间为x1,x2,e(?)。测得n个灯泡失

,xn,求?的矩估计值和极大似然估计值。

1n解:(1)E(X)?,所以??xi?x,

?ni?1?11??由此可得参数的矩估计值为?(2)似然函数 L(?)?n1. x??n?e????e?i?1?xi?xii?1n ,

第 40 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

ln(L(?))?nln???似然方程为

?xi?1ni,

dln(L(?))nn???xi?0,

d??i?1??解得 ?n?xi?1n?i1,其中x为样本均值 。 xdln(L(?))dln(L(?))11时,?0,??时,?0,

d?d?xx??1是L(?)的最大值点,1是?的极大似然估计值。 所以?xx因为??§7.3 正态总体的置信区间

一、单选题

21. 若总体X~N(?,?),其中?已知,当样本容量n保持不变时,如果置信度1??变

2小,则?的置信区间( B )

(A)长度变大 (B)长度变小 (C)长度不变 (D)长度不一定不变

2.设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足

P(X?u?)??.若P(X?x)??,则x等于( C )

(A)u? (B)u21??2 (C)u1?? (D)u1??

2223. 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?),其中?,?均未知,现从中随机抽取16个零件,测得样本均值x?20cm,样本标准差s?1cm,则?的置信度为0.90的置信区间是( C ) (A)(20?(C)(20?1111t0.05(16),20?t0.05(16)) (B)(20?t0.1(16),20?t0.1(16)) 44441111t0.05(15),20?t0.05(15)) (D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)) 4444二、填空题

第 41 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

1. 由来自正态总体X~N(?,0.9),容量为9的简单随机样本,若得到样本均值x?5,则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为(19.87,20.15)

2. 已知一批零件的长度X服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得平均长度为40cm,则?的置信度为0.95的置信区间为(39.51,40.49)

2三、计算题

1. 为了解灯泡使用时数均值?及标准差?,测量了10个灯泡,得x?1650小时,s?20小时.如果已知灯泡使用时间服从正态分布,求?和?的0.95的置信区间。 解: 由t?(n?1)?t0.025(9)?2.262,根据求置信区间的公式得

2ss2.262t?(n?1), x?t?(n?1))?(1650??20) n2n210?(1650?14.31)?(1635.69, 1664.31)(x?2222查表知??(n?1)??0.025(9)?19.023,??(n?1)??0.975(9)?2.70,根据求置信区间的

21?2公式得?的置信区间为

2

(n?1)s2(n?1)s29?2029?202 (2, 2)?(, )?(189.24, 1333.33)

?0.025(9)?0.975(9)19.0232.70 而?的置信区间为

(189.24, 1333.33)?(13.8, 36.5)

2.从长期生产实践知道,某厂生产的电子元件的使用寿命X~N(?,1002)。现行某一批电子元件中抽取5只,测得其使用寿命分别为

1455 1502 1370 1610 1430

试求这批电子元件的平均使用寿命?的置信区间(?分别取0.1和0.05)

第 42 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

解:由样本值得1X=(1455+1502+1370+1610+1430)=1473.45当?=0.1,查表得??2=1.64,故X-??2X+??2?n?1473.4?1.64??1473.4?1.64?1005100?1400.1?1546.7?n5?1400.1,于是置信度90%下,平均使用寿命?的置信区间为1546.7?当?=0.05时,查表得??2=1.96,故X-??2X+??2?n?1473.4?1.96??1473.4?1.96?1005100?1385.7?1561.1?n5?1385.7,于是在置信度95%下,平均使用寿命?的置信区间为1561.1?第八章 假设检验

一、单选题

1. 在假设检验中,作出拒绝假设H0的决策时,则可能( A )错误

(A)犯第一类 (B)犯第二类 (C)犯第一类,也可能犯第二类 (D)不犯

2. 对正态总体?的数学期望进行假设检验,如果在显著性水平0.05下接受H0:???0,那么在显著性水平0.01下,下列结论中正确的是( A ) (A)必接受H0 (B)可能接受,也可能拒绝H0 (C)必拒绝H0 (D)不接受,也不拒绝H0

3. 在假设检验中,H0表示原假设,H1表示备择假设,则犯第一类错误的情况为( B ) (A)H1真,接受H1 (B)H1不真,接受H1 (C)H1真,拒绝H1 (D)H1不真,拒绝H1

二、计算题

1.已知在正常生产的情况下某种零件的质量服从正态分布N(54,0.75)。从某日生产的零件中抽取9件,测得质量(g)如下:

第 43 页

2概率论与数理统计标准作业纸答案

55.1, 53.8, 54.2, 53.0, 54.2, 55.0, 55.8, 55.1, 55.2。 如果标准差不变,该日生产的零件质量的均值是否有显著差异????0.05,u0.025?1.96? 解:假设H0:???0?54,H1:??54

H0成立,?U?X??0?N(0,1)

n??0.05,u??u0.025?1.96,??0.75,n?9

2x?55.1?53.8?54.2?53?54.2?55?55.8?55.1?55.2?54.69x??054.6?541.8u????2.4

?0.750.753n2

u?2.4?u?,样本在拒绝域中,拒绝假设H0,认为有明显差异。

2. 机器包装食盐,每袋净重量X(单位:g)服从正态分布,规定每袋净重量为500(g).某天开工后,为检验机器工作是否正常,从包装好的食盐中随机抽取9袋,测得其净重量为: 497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平??0.05检验这天包装机工作是否正常? 解:设H0:??500; H1:??500 由于?未知,选统计量

2t?X??0Sn~t(n?1)

对显著性水平??0.05,查表得t?(n?1)?t0.025(8)?2.31。由样本值计算得x?499,

2s2?257,s?16.03

t?499?50016.033?0.187?2.31?t?(n?1)

2接受H0,认为每袋平均重量为500(g).

第 44 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

3.某工厂用自动包装机包装奶粉,今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋,测得各袋的重量(单位:g)为

495, 510, 505, 489, 503, 502, 512, 497, 506, 492

2设包装机称得的奶粉重量X~N(?0,?),能否认为各袋净重的标准差为?=5?

(??0.05)

(1)?0?500;(2)?0未知

解2分两种情况讨论:(1)?0?500克;(2)?0未知,H0:?2??0(1)因X的均值?0?500克已知,故当H0为真时,检验用统计量为??212?0?(Xi?1ni??0)2~?2(n)2(对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(10)?20.5) 2?0.975(10)?3.25,已知?0?500,?0?5,n?10.2根据样本值计算统计量?的值为??212?02(x?500)?16.88?ii?110222因?0.975(10)????0.025(10),故在显著性水平??0.05下接受H0.(2)设H0:?=5; H1:??5

因X的均值?0未知,故当H0为真时,检验用统计量为??2(n?1)S2?02~?2(n?1)2对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(9)?19,2?0.975(9)?2.7,已知?0?5,根据样本值计算得s2?42.222,于是?2的值为

?2?1?02(n?1)s?15.20222因?0.975(9)??2??0.025(9),故在显著性水平??0.05下接受H0.综上所述可知,在两种情形下都可以认为各袋奶粉净重的标准差为??5克.第六、七、八章 练习题

1.设总体X~N(1,0.2),X1,X2,2,Xn为取自总体X的一个样本,要使样本均值X满

足不等式P(0.9?X?1.1)?0.95,则样本均值n最少应取多少。

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概率论与数理统计标准作业纸答案

解: 由题意知 X~N(1,故 P(0.9?X?1.1)=?(0.04) n1.1-10.9-1)??()

0.2n0.2n=2?(0.5n)?1?0.95

即 ?(0.5n)?0.975 ,0.5n?1.96 ,n?15.3664 因此样本容量n最少应取为16.

2.设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,.如果取得样本观测值为

x1,x2,,xn,求参数p的矩估计值与最大似然估计值。

解:由已知可得

11n1v1(X)?E(X)?,所以??xi?x

pni?1p??由此可得参数的矩估计值为p似然函数为L(p)?1. xxi?1?(p(1?p)i?1n)?p(1?p)i?1n?xi?nn

取对数,得lnL(p)?nlnp?(?x?n)ln(1?p).于是,得

ii?1nndlnL(p)n11??. ??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pdpp1?pi?1x??x??1,0?x?13.设总体X的概率密度为f(x)??,(0???1)

?0, 其它如果取得样本观测值为x1,x2,解 :(1)令EX?,xn,求参数?的极大似然估计值。

1?????xf(x)dx???x?dx?0???1?x

??所以?x为矩估计值。 1?x第 46 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

n???1n?(2)似然函数为L(?)??f(xi,?)???xi????xi?i?1i?1?i?1?nnn??1

取对数,得lnL(?)?nln??(??1)?lnx,

ii?1dlnL(?)nn???lnxi?0. 于是,

d??i?1???由此可得参数的极大似然估计值为求得?n?lnxi?1n。

i??2D??,求常数c和d,使?和??为参数?的两个独立的无偏估计量,且假定D?4.设?1212??c???d??为?的无偏估计,并使方差D??最小. ?12???,故得c+d=1。 ??E(c???d??)?cE???dE???(c?d)?,且知E?解: 由于E?1212又由于

??D(c???d??)?c2D???d2D???2c2D???d2D???(2c2?d2)D?? D?1212222并使其最小,即使f?2c?d,满足条件c+d=1的最小值。

'22令d=1-c,代入得f?2c?(1?c),fc?4c?2(1?c)?0, 6c?2?0

22解得c?12,d?1?c?。 3325. 对方差?为已知的正态总体来说,问需取容量n为多大的样本,才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于L。 解: 由于?的置信区间为(x??nu?,x?2?nu?),故?的置信区间长度为22?nu??L.

2所以,有n?2?2?u?,即n?(u?)2.

L2L22

6. 岩石密度的测量误差服从正态分布,随机抽测12个样品,得s?0.2,求?的置信区

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概率论与数理统计标准作业纸答案

间(??0.1)。

解: 查表得?0.05(11)?19.675,?0.95(11)?4.575,根据求置信区间的公式得?的置信区间为

222

(n?1)s2(n?1)s211?0.2211?0.22 (2, 2)?(, )=(0.02, 0.10).

??(n?1)??(n?1)19.6754.5752。1?27.测量某种仪器的工作温度(C)5次得数据如下: 1250 1275 1265 1245 1260

设仪器的工作温度服从正态分布N(?,?),?未知,试求?的置信区间(??0.05)。

22解选T?2X??n为估计用统计量,由a?0.05查t?分布表得Sta(n?1)?t0.05(5?1)?t0.025(4)?2.776421又x?(1250?1275?1265?1245?1260)?125951512570222222s?(x?x)?(9?16?6?14?1)??i5?1i?144

??x?t·?1as570?1259?2.7764?1259?14.8?1244.24?5n2??x?t·s?1259?14.8?1273.8 ?2an2N(4.55,0.062),现改变工艺,又测得9炉铁水的含碳

所以?的95%置信区间为(1244.2,1273.8).8.已知某炼铁厂的铁水含碳量X量分别为:

4.55 4.58 4.60 4.59 4.56 4.54 4.53 4.61 4.57 假设方差无变化,问总体的均值?是否有明显变化? ???0.05,u0.025?1.96? 解:假设H0:???0?4.55,H1:??4.55

u?X??0?N(0,1)

n第 48 页

概率论与数理统计标准作业纸答案

??0.05,u??u0.025?1.96

2u?x??0??n4.57?4.55?1

0.063u?u?,不在拒绝域中,故接受假设H0,认为总体的均值无明显变化。

29.机器包装食盐,每袋净重量X(单位:g)服从正态分布,规定每袋净重量为500(g).某天开工后,为检验机器工作是否正常,从包装好的食盐中随机抽取9袋,测得其净重量为:

497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平??0.05检验这天包装机工作是否正常? 解:设H0:??500; H1:??500

由于?未知,选统计量

2

t?X??0~t(n?1)

Sn2拒绝域为t?t?(n?1),对显著性水平??0.05,查表得t?(n?1)?t0.025(8)?2.31。由

2样本值计算得x?499,s?257,s?16.03

t?2499?50016.033?0.187?2.31?t?(n?1)

2不拒绝,接受H0,认为每袋平均重量为500(g). 模拟题一

一、单选题

1.事件AB表示( C )

( A ) 事件A与事件B同时发生 ( B ) 事件A与事件B不同时发生

( C ) 事件A与事件B都不发生 ( D ) 事件A与事件B至少有一个不发生 2.离散型随机变量X的分布律为:

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概率论与数理统计标准作业纸答案

X pk 则 ?? ( B ).

( A )

?1 0 1 ? 2?(2??) ? 2

1251 ( B ) ( C ) ( D ) 55663.随机变量X与Y相互独立,(X,Y)的联合分布律如下:

Y X ?1 1 4b e 0 a c p?j 1 3 pi? 则下列不正确的是( D ) ( A ) a?1 2d f

1111 ( B ) b? ( C ) e? ( D ) f? 442424.设随机变量X,Y相互独立,且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4),则 E(2X?Y)?( B )

(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9

25.样本(X1,X2,X3)来自总体X,且E(X)??,D(X)??,则有( B ) ( A ) X1?X2?X3是?的无偏估计 ( B ) ( C )

X1?X2?X3?是的无偏估计

3X1?X2?X3?2是的无偏估计 ( D ) X是?2的无偏估计

4二、填空题

1.已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,则条件概率P(BAB)? 0.25

2.一袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,任取3个球恰为一红一白一黑的概率为 0.25 3.已知X,Y相互独立,且E(X)?2,E(Y)?3,D(X)?D(Y)?1, 则E[(X?Y)2]= 3 ?24.设随机变量X服从参数为?的泊松分布,且P{X?0}?e,则P{X?1}?1?3e

?2第 50 页

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