概率论与数理统计标准作业纸答案
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率§1.3古典概率
一、单选题
1.事件AB表示 （ C ）
（A） 事件A与事件B同时发生 （B） 事件A与事件B都不发生 （C） 事件A与事件B不同时发生 （D） 以上都不对
2.事件A,B，有A?B，则A?B?（ B ）
（A） A （B）B （C） AB （D）AB
3.设随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是（ C ）
(A)P(C)?P(AB) (B)P(C)?P(A)?P(B)
(C)P(C)?P(A)?P(B)?1 (D)P(C)?P(A)?P(B)?1
4.已知P(A)?P(B)?P(C)?11， P(AB)?0， P(AC)?P(BC)?。则事件A、416B、C全不发生的概率为（ B ）
5623(A) (B) (C) (D)
88885.已知事件A、B满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?（ A ）
(A) 1?p (B) p (C)
pp (D) 1?
226.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则以下结论中正确的是（ C ）
(A)A和B都发生的概率等于1?p (B) A和B只有一个发生的概率等于1?p (C)A和B至少有一个发生的概率等于1?p(D)A发生B不发生或B发生A不发生的概率等于1?p
二、填空题
1.设A,B,C表示三个随机事件，用A,B,C的关系和运算表示 （1）仅A发生为：ABC；
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（2）A,B,C中正好有一个发生为：ABC?ABC?ABC； （3）A,B,C中至少有一个发生为：ABC；
BC，或者ABC.
（4）A,B,C中至少有一个不发生表示为：A2.设P(A)?0.3，P(A?B)?0.6，若A?B，则P(B)? 0.6 . 3.设随机事件A、B及AB的概率分别是0.4,0.3,和0.6.则P(AB)? 0.3 .
三、简答题
1.任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数.事件A表示“出现点数为偶数”，事件B表示“出现点数可以被3整除”，请写出下列事件是什么事件，并写出它们包含的基本事件. A,B,AB,AB,A B解：A表示“出现点数为偶数”，A??2,4,6? B表示“出现点数可以被3整除”，B??3,6?
，AB??2,3,4,6? AB表示“出现点数可以被2或3整除”
AB表示“出现点数既可以被2整除，也可以被3整除”，AB??6?
AB表示“出现点数既不可以被2整除，也不可以被3整除”，AB??1,5?
四、计算题
1.某城市家庭安装有线数字电视的占85%，安装网线的占70%，有线和网线至少安装一种的占95%.现从该城市任选一家庭，求： （1）该家庭两线都安装的的概率； （2）该家庭只安装其中一线的概率; （3）该家庭两线都不安装的的概率.
解 设A?{安装有线数字电视}，B?{安装网线}， 则 A∪B?{有线和网线至少安装一种} . （1）P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.85?0.70?0.95?0.6.
（2）AB?AB?{只安装其中一线}，
P(AB?AB)?P(A∪B)?P(AB)?0.95?0.6?0.35 .
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（3）P(AB)?1?P(AB)?1?0.95?0.05 .
§1.3古典概率
一、单选题
1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）
1331 （B） （C） （D） 251010二、填空题
（A）
1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概
11C3C23率为? .
C5252.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为
3!8! . 10!3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队
19C2C1810被分在不同组内的概率为? . 1019C204.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，则其中至少有一只红球的概率为
3C3341?3?（0.97）.
C7355.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 . 6. 将一枚匀称的骰子抛掷两次,则两次出现的点数之和等于8的概率是
5. 36四、计算题
1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率 （1）A---任意3个盒子中各有一球；（2）B---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球.
12131C4C3C3C43!3C491?解：（1）P(A)?3? （2）P(B)?3? （3）P(C)?. 381616444
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2.某产品有大、中、小三种型号.某公司发出17件此产品,其中10件大号,4件中号，3件小号.交货人粗心随意将这些产品发给顾客.问一个订货为4件大号、3件中号和2件小号的顾客，能按所定型号如数得到订货的概率是多少？
解 设A?{能按所定型号如数得到订货}，
C4C3C2252 P(A)?1043??0.104
92431C173.电话号码由7个数组成，每个数字可以是0，1，2，… ，9中的任一个数字（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率. 解：设A表示电话号码是由完全不相同的数字组成
16A9A P(A)?196?0.0605
A9104．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3 件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；
（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率. 解：设事件Ai表示取出的3件产品中有2件i等品，其中i=1，2，3；
12121C92C11?C7C13?C4C16 （1）P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?=0.671 3C20 （2）设事件A表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，则
111C9C7C4P(A)?1?P(A)?1??0.779 3C20§1.4条件概率
一、单选题
1.事件A,B为两个互不相容事件，且P(A)?0,P(B)?0，则必有( B )
(A) P(A)?1?P(B) (B) P(A|B)?0
(C ) P(A|B)?1 (D) P(A|B)?1
2.将一枚筛子先后掷两次，设事件A表示两次出现的点数之和是10，事件B表示第一次出现的点数大于第二次，则P(BA)?（ A ）
1125 (B) (C ) (D) 34563.设A、B是两个事件，若B发生必然导致A发生，则下列式子中正确的是（ A ）
(A)
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(A)P(A?B)?P(A) (B)P(AB)?P(A) (C)P(BA)?P(B) (D)P(B?A)?P(B)?P(A)
4．袋中有5个球，3个新球，2个旧球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到新球的概率为 （ A ）
33 (B) 54二、填空题
(A)
(C )
23 (D ) 4101.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BA)=0.8，则和事件A?B的概率P(A?B)? 0.7 .
2.A,B是两事件，P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(B|A)?0.6,则P(A|AB)?
15?0.577 . 263.某厂一批产品中有4%的废品，而合格品中有75%的一等品.从该批产品中任取一件产品
为一等品的概率为 0.72 .
4.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为
1 . 65. 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是 0.5 .
6.试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案.若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85 .
三、计算题
1. 据多年来的气象记录知甲、乙两城市在一年内的雨天分布是均等的,且雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.求
(1) 某一天两市中至少有一市下雨的概率; (2) 乙市下雨的条件下, 甲市也下雨的概率; (3) 甲市下雨的条件下, 乙市也下雨的概率. 解 设A?{甲市下雨},B={乙市下雨}. 则 (1) P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.18?0.12?0.26 ;
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(2) P(A|B)?P(AB)0.12??0.67 ; P(B)0.18P(AB)0.12??0.6 . P(A)0.2(3) P(B|A)?2. 一人从外地到济南来参加会议,他乘火车的概率为0.5,乘飞机的概率为0.3,乘汽车的
概率为0.2.如果乘火车来, 迟到的概率为0.25,乘飞机来迟到的概率为0.12,乘汽车来迟到的概率为0.08. 求此人迟到的概率.
解 设A1={此人乘火车来}, A2={此人乘飞机来}, A3={此人乘汽车来}, B表示{此人迟到}. 由全概率公式得到
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.5?0.25?0.3?0.12?0.2?0.08?0.177
i?133. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查,求这件产品是次品的概率.
解 设B?{取到的是一件次品}, Ai?{所取到的产品来自甲、乙、丙车间}(i?1,2,3). 则
P(A1)?0.4,P(B|A1)?0.04,P(A2)?0.38,P(A3)?0.22，
P(B|A2)?0.03, P(B|A3)?0.05.
由全概率公式可得
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)
?0.4?0.04?0.38?0.03?0.22?0.05?0.0384.
§1.5 事件的独立性 §1.6 独立试验序列
一、单选题
1.设A、B是两个相互独立的随机事件,P（A）?P（B）?0，则P(A?B)?（ B ）
?P（B）(A) P（A） (B) 1?P（A） ?P（B）?P（B）(C) 1?P（A） (D) 1?P（AB）
2.设P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(AB)=0.8，则下列结论正确的是（ C ）
(A) 事件A与B互不相容 (B) A?B
(C) 事件A与B互相独立 (D) P(A?B)?P(A)?P(B)
3.设P(AB)?0,则(A)
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(A) A,B互不相容 (B) A,B独立 (C)P(A)?0或P(B)?0（D) P(A|B)?P(A) 4.每次试验成功率为p(0?p?1)，(1)进行10次重复试验成功4次的概率为(A ); (2)进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B )； (3)进行10次重复试验，至少成功一次的概率为( D )； (4)进行10次重复试验，10次都失败的概率为( C ).
4463461010 (A) C10p(1?p) (B) C9p(1?p) (C) (1?p) (D) 1?(1?p)
二、填空题
1.设A与B为两相互独立的事件，P(A?B)=0.6，P(A)=0.4，则P(B)= 1/3 . 2.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影响的，则加工出来的零件的次品率是 0.09693 .
3.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5 .
4.进行8次独立射击,每次击中目标的概率为0.3, 则8次中至少击中2次的概率为0.7447.
5.甲、乙两对进行排球比赛.如果每局甲队胜的概率为0.6，乙对胜的概率为0.4.比赛采取三局两胜制，则甲胜的概率为 0.648 ;如果比赛采取五局三胜制，则甲胜的概率为 0.682 .
6.射击运动中，一次射击最多能得10环.设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，则该运动员在三次独立的射击中得到不少于29环的概为 0.208 .
三、计算题
1.对同一目标进行三次射击，第一二三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7，求 （1）三次射击中，恰好命中一次的概率;（2）至少命中一次的概率. 解：设事件Ai表示第i次命中，（i=1，2，3）， 设B?{恰好命中一次}，则P(B)?P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7 =0.36 . 设C?{至少命中一次}，则P(C)?P(A1A2A3)
?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) ?1?0.6?0.5?0.3?0.91.
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2.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
解：三个灯泡的使用时数显然是相互独立的，已知n?3，p?0.8,q?0.2
003112 P(0?m?1)?P3(0)?P3(1)?C3?0.8?0.2?C3?0.8?0.2
=0.104 .
3.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率. 解：设事件Ai表示第i台车床不需要照管，事件Ai表示第i台车床需要照管，（i=1，2，3）， B?{三台车床中最多有一台需要工人看管}， 则P(B)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.9?0.8?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3
=0.902 .
第一章 练习题
1.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独烧断的概率分别为0.8和0.9，同时烧断的概率为0.72，求电流强度超过这一定值时，至少有一根保险丝被烧断的概率.
解：设A，B分别表示甲、乙保险丝被烧断
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
?0.8?0.9?0.72?0.982.猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变成为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米。假定最多进行三次射击，设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.
解：设第i次击中的概率为pi ，（i=1，2，3）因为第i次击中的概率pi与距离di成反比， 所以设pi?k，（i=1，2，3）； di由题设，知d1?100，p1?0.6，代入上式，得到k?60
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再将k?60代入上式，易计算出p2?6060?0.4，p3??0.3. 150200 设事件A表示猎人击中动物，事件Bi表示猎人第i次击中动物（i=1，2，3），则
P(A)?1?P(B1B2B3)?1?0.4?0.6?0.7?0.832.
3.袋中有a个白球与b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去。求第二
取出的球与第一次取出的球颜色相同的的概率.
解：设事件A表示第一次取出白球，事件B表示第二次取出白球，则事件A表示第一次取出黑球，事件B表示第二次取出黑球. 所求概率为：
P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)
?aa?1bb?1+ ??a?ba?b?1a?ba?b?14. 盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新球。第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率. 解：设事件Bi表示第一次比赛时用了i个新球（i=0,1,2,3）,事件A表示第二次取出的球都是新球，则
P(A)??P(Bi)P(A|Bi)
i?03331312333C3C9C32C9C8C3C9C7C9C6?3?3?3?3?3?3?3?3?0.146 C12C12C12C12C12C12C12C125.设甲箱中只有5个正品和3个次品, 乙箱中只有4个正品和3个次品. 现从甲箱中任取3
个产品放入乙箱, 然后从乙箱中任取1个产品.求这个产品是正品的概率.
解 设A?{从乙箱中取出的是正品},
Bi?{从甲箱中取出的3个产品中有i个次品}（i=0,1,2,3）
由全概率公式得
P(A)=
?P(B)P(AB)
iii?14 =
10730615514329???????=≈0.5875. 56105610561056105606．一工厂有两个车间，某天一车间生产产品100件，其中15件次品；二车间生产产品50件，其中有10件次品，把产品堆放一起（两车间产品没有区分标志），求：（1）从该天生
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产的产品中随机取一件检查，它是次品的概率；（2）若已查出该产品是次品，则它是二车间生产的概率.
解：（1）设事件“取的产品来自1车间”为A1,事件“取的产品来自2车间”为A2， “从中任取一个是次品”为B，
211P?B??P?B|A1?P?A1??P?B|A2?P?A2???0.15??0.2? .
336（2） P?A2|B??P?A2B?P?B|A2?P?A2?2?? .
P?B?P?B?57.设某型号的高射炮, 每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6. 现配置若干门炮独立
的各发射一发炮弹, 问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮？ 解 设n是以99%的概率击中敌机需配置的高射炮门数.
记Ai={第i门炮击中敌机}(i=1,2,…,n), A={敌机被击中}. P(A)=1-P(A)=1-P(A1A2…An) =1-P(A1)P(A2)…P(An) =1-(0.4)n. 因此,按要求P(A)=1-(0.4)n≥0.99, 即(0.4) n ≤0.01. 解之, 得
n≥
lg0.01≈5.026. lg0.4可见, 至少需配置六门高射炮才能以99%以上的把握击中来犯的这架敌机.
8.甲乙丙三人同时向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果是三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率.
解：设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机，事件Di表示有i个人击中飞机(i?1,2,3)， 则 P(D1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36
P(D2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41 P(D3)?0.4?0.5?0.7?0.14
设E表示飞机被击落，则
P(E)??P(Di)P(E|Di)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458.
i?13
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第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布
一、单选题
1. 设离散随机变量X的分布律为:
P{X?k}?b?k,(k?1,2,3?),??1, 且b?0，则?为（ C ）
(A) ??0 (B)??b?1 (C)??2.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p), 若P?X?1??11 (D)?? 1?bb?15,则P?Y?1??9 (B)
（ C ）
(A)
341729 (C)
1927 (D)
7 93.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )
32,b??55二、填空题
(A)a?(B)a?22,b?33(C)a??13,b?22(D)a?13,b?? 221.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
41, 失败的概率为, 将试验进行到出现55一次成功为止, 以X表示所需试验次数, 则X的分布律是
14P?X?k??()k?1? , k?1,2,?
552.如果随机变量X的分布律如下所示,则C? 25/12 . X 0 1 2 3 P 1111 2C3C4CC3.设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知P?X?1??P?X?2?, 则 P?X?4?＝2?2e(0.0902) . 3第 11 页
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三、计算题
X1.设随机变量X的概率分布为
P?10113611 2求X的分布函数.
?0,?1?,?3解：F(x)???1,?2?1,?当x??1当?1?x?0
当0?x?1当x?12. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X表示取出的3个球中的最大号码, 试求X的概率分布.
解：X的可能取值为3、4、5，计算得X的概率分布为: X 3 4 5 P
313 105103.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为?的泊松分布,即X~P(?),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率. 解： ?X~P(?)?P{X?k}??ke??k!,k?0,1,2?
根据题意 P{X?8}?2.5P{X?10}, 即
?8e??8!?2.5??10e??10!,解得 ??36,??6.
268e?6610e?6(1)P{X?8}??0.1033P{X?10}??0.04138!10! (2)P{X?0}?e??e?6?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975.
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§2.3 连续型随机变量及其概率密度
一、单选题
1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A ）
（A） 0?f(x)?1 （B） 0?F(x)?1
（C）
?????f(x)dx?1 （D） f(x)?F'(x)
2.下列函数中，可为随机变量X的密度函数的是（ B ）
?sinx, （A） f(x)???0,??sinx,（C） f(x)????0，0?x??其它??sinx, （B）f(x)????0,0?x?其它?2
0?x?3?2 （D）f(x)?sinx,???x??? 其它?0,x?(?)?2?x3.设F(x)??,(?)?x?2,当(*)取下列何值时,F(x)是连续型随机变量的分布函
?4??1,x?2数.（ A ）
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5 4.在区间??1,2?上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是（ B ）
?3,（A） f(x)???0, （C） f(x)?3,?1?x?2其它?1?, （B）f(x)??3??0,?1?x?2其它
1,???x??? 35.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是（ C ）
???x??? （D）f(x)??2e?2x, （A） f(x)???0,x?0x?0 （B） f(x)?2e?2x,???x???
第 13 页
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x?1?12?e, （C） f(x)??2?0,?2x?0x?0x1?12f(x)?e, （D）
2???x???
6.设X~N(?,?),那么当?增大时，则P(X????)（ C ） (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 7.随机变量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},则??（ B ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题
1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(1)A????x???
1111; B? ;(2)P(?1?X?1)? 0.5 ;(3)概率密度f(x)?? . 2?1?x2?2.设随机变量X在在区间??1,2?上服从均匀分布，则 (1)P(?6?x??1)? 0 ; (2) P(?4?x?1)?2 ; 3⑶ P(?2?x?3)? 1 ; (4) P(1?x?6)?1 . 33. 多年统计表明, 某厂生产的电视机的寿命X~e(0.2)(单位: 万小时). 某人购买了一台该厂生产的电视机, 其寿命超过4万小时的概率为e4.设随机变量X~N(100,?0.383 .
2?0.8?0.4493.
),且P(X?103)?0.3085,则P(97?X?103)?
三、计算题
?c?x,?1. 设随机变量X的概率密度：f(x)??c?x,?0,?求：（1）常数c；（2）概率P(X?0.5) .
?1?x?00?x?1 x?1第 14 页
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解：（1）
?0?1(c?x)dx??(c?x)dx?1，c=1
01 (2) P(X?0.5)=
?0?0.5(1?x)dx??(1?x)dx?0.75.
00.52.设随机变量X在区间?2,5?上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.
?1?,解：X的概率密度为f(x)??3??0,2?x?5其它，设Y为对X进行三次独立观测时测值
2f(x)dx?. ?332022330则P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3p(1?p)?C3p(1?p)?.
273. 设随机变量X的概率密度为
大于3的次数，则Y~b(3,p),其中p?P{X?3}?5f(x)?Ae?x,???x???
求: (1)系数A; (2)P(0?X?1).
????解(1) 因为:
???f(x)dx????Aedx?1
?x所以 A?0.5
1(2) P(0?X?1)=Ae0??x111dx??e?xdx=(1?)?0.316
2e20214.设随机变量X服从正态分布N(1,2)，求下列概率：
(1)P(X?2.2)=0.7275 (2)P(?1.6?X?5.8)=0.8950 (3)P(X?3.5)=0.8822 (4)P(X?4.56)=0.0402 §2.4
随机变量的函数及其分布
一、计算题
1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布：
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（1）Y?2X?1 （2）Y?X2?X (3)Y?答案(1) Y p (2) Y p (3) Y p 0 0.216 1 0.432 0 0.648 2 0.288 -1 0.216 1 0.432 X(X?1) 23 5 0.064 0.288 6 0.064 3 0.288 ，
6 0.064 ?2x,2.设随机变量X的概率密度f(x)???0,求下列随机变量的概率密度：
0?x?1其它（1）Y?1?2X （2）Y?1?2X (3)Y?X 答案
2?y?1,?（1）fy(y)??2??0,1?y?3?1?y,? （2）fy(y)??2?其它?0,2?1?y?1其它
y?0??0,（3）解：FY(y)?P?Y?y??P?X?y???
P?y?X?y,y?0????当y?0时， FY(y)?P?y?X??y?FX(y)?FX(?y) 1)?12y(fX(y)?fX(?y))?fY(y)?fX(y)当0?12y?fX(?y)(?2y
y?1时，即0?y?1，fX(y)?2y 而?y?0时，fX(?y)?0
?1,?fY(y)???0,0?y?1其它 .
3.设随机变量X的概率密度为
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概率论与数理统计标准作业纸答案
?2e?2x,f(x)???0,求随机变量Y?2X的概率密度fY(y).
x?0x?0
?e?y,答案 fY(y)???0,y?0y?0
4.设随机变量X的概率密度为:
?x?,0?x?4，fX(x)??8??0,其他
求随机变量 y?2X?8的概率密度. 解:先求出y的分布函数:
FY(y)?P(Y?y)?P(2X?8?y)
y?8y?8???P?X???????2fX(x)dx
2??两边同时对y求导数, 得y?2X?8的概率密度为：
?1?y?8?1y?8?,0??4?2y?81?22?8??fY?y??fX()????
22?0,其它，???y?8,8?y?16???32?0,其它?
第二章 练习题
1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和
绿，与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X的概率分布. 解：
X 0 1 2 3 P
1111 2 3 3 22222.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内断纱次数不大
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于10的概率.
解：设X表示一段时间内断纱的次数，则X~B(800,0.005) 由于n=800足够大，X还近似服从P(4)
4ke?4 P(0?X?10)??=0.997.
k!k?0103. 确定常数c, 使如下函数
成为某个随机变量的概率密度. 解 令
??1 0≤x≤1,?cx, ?g(x)??c(2?x), 1?x≤2,?0, 其它?
3c?2c?c?1, 得c?1. ???0122显然, 非负性g(x)?0(X?(??,??))满足.
g(x)dx??cxdx??c(2?x)dx?21所以, 函数g(x)在c?1条件下可以作为某个连续型随机变量的概率密度. 4.设随机变量X的概率密度
?Ax2e?x，f(x)???0,求：（1）常数A；（2）概率P(X?1). 解：（1）
x?0x?0
??0Ax2e?xdx?A?(3)?2A?1,?A?1 2（2）P(X?1)???112?x5xedx?e?1=0.9197 （分部积分法）. 225.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度
x?1??xe2500,f(x)??1250?0,?2x?0x?0
如果弹着点距离目标不超过50m时，即可摧毁目标.求：
求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？
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解：（1）P(X?50)??5001xe1250n?x22500dx?1?e?1?0.6321
（2）1?(1?0.6321)?0.95，解得n?3
6.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，
1x?1?600e,?概率密度为：f(x)??600?0,?x?0x?0
试求：在仪器使用的最初的200h内至少有一只电子元件损害的概率.
?x11?600edx?e3 （一只没损害的概率） 解：P(X?200)??200600设A表示最初的200h内至少有一只电子元件损害
3?1?13??P(A)?1??e??1?. e??7. 设随机变量X的概率密度为
fX(x)?求：随机变量Y?1?31,???x???，
?(1?x2)X的概率密度fY(y).
3解：FY(y)?P(X?(1?y))?1??(1?y)3??1dx
?(1?x2)3(1?y)2fY(y)?,???y??? 6???1?(1?y)??8. 设随机变量X服从指数分布e(?)，其中??0，求随机变量函数Y?e的概率密度.
X??e??x,解：fX(x)???0,x?0 其它??0,y?0FY(y)?P?Y?y??P?eX?y???
??P?X?lny?,y?0当y?0时， FY(y)?P?X?lny??FX(lny)
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fY(y)?fX(lny)1 y??lny??y?? 当lny?0时，即y?1，fX(lny)??e??y?(??1), ?fY(y)???0,y?1 y?1第三章 二维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量及其分布
一、单选题
?e?(x?y),x?0,y?0;1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)??
其他.?0,则P(X?Y)? （ A ）
（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.6
2.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示以下哪个随机事件的的概率？( B ) （A）?X?x??Y?y? （B）?X?x??Y?y?
（C） X?x?y （D）X?x?y
二、填空题
1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan则系数A=
x2y) 31?2，B=
?2，C=
?2， (X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?6 . 222?(x?4)(y?9)2.已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，R为一平面区域，则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=
??xy????f(x,y)dydx ，P??X,Y??R??
??f(x,y)dxdy，
R第 20 页
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F(??,??)? 1 ，F(x,??)? 0 ，F(??,y)? 0 ，F(??,??)? 0 。
3.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为
?Ae?(2x?y),x?0,y?0, f(x,y)???0,其他.则 A?2 ;P{X?Y}?x?y?0??f(x,y)dxdy??+?0?+?x2e?(2u?v)dvdu?2． 34.设D是平面上的一个有界区域，其面积为A，二维随机变量（X,Y）在区域D上服从二?1?,?x,y??D;维均匀分布,则（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)? ?A
?0,?x,y??D.?三、计算题
?e?y,0?x?y1.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
?0,其他（1）求P{X?Y?1}；（2）求联合分布函数F(x,y). 解（1）P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?0?x?y1201?xxedy?1?e－2e
?y－1?12?1?e?x?xe?y（2）F(x)???0 .
2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0;f(x,y)??
其他.?0,试求（1）常数A ； (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解：（1）由于 故
??????????f(x,y)?1，
??0????0Ae?(x?2y)dxdy?A?1，所以A?2 221（2）P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4) .
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§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性
一、单选题
1.(X,Y)为二维连续随机变量，对任意的实数x，函数P?X?x,Y????为 （ B ） （A）关于随机变量Y的边缘分布函数 （B）关于随机变量X的边缘分布函数 （C）(X,Y)的联合分布函数 （D）以上都不对
二、填空题
1.下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? x1 1 241 8 1 81 121 43 41 x2 P{Y?yi}?p?j3 81 21 41 31 62.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23则X的边缘分布函数为FX(x)?F(x,??)?11x?arctan ， Y的边缘概率密度为2?2fY(y)?FY?(y)?F?(??,y)?3. 2??y?9?3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则随机变量X的边缘分布函数为
FX(x)?F(x,??)，随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y).
4. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量X的边缘概率密度为
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fX(x)??????f(x,y)dy，随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx.
三、计算题
?e?y,0?x?y1.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??，求X的边缘
?0,其他概率密度fX(x). 解 x?0时,fX(x)????xe?ydy?e?x,x?0时，fX(x)?0故
?e?x，x?0 fX(x)??x?0?0,2.已知随机变量X1和X2的概率分布如下
X1 ?1 0 11P 4 2 1 14
X2 0 1P 2 1 12 而且P{X1X2?0}?1.（1）求X1和X2的联合分布；（2）问X1和X2是否独立？为什么？ 解 (1) P{X1X2?0}?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0
?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0
X1 X2 ?1 0 0 1 21 0 1 1 41 40 0 （2）因为P{X1?0,X2?0}?0,P{X1?0}P{X2?0}?1?0,所以X1和X2不独立. 4?2e?(x?2y),x?0,y?03.已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,随机变量X和Y是否独立？
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?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 由于 fX(x)??， fY(y)??.
0,x?00,y?0??故f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.
?§3.4 二维随机变量函数的分布
一、单选题
1. 设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则
Z?min{X,Y}的分布函数是 （ D ）
（A）FZ(z)?FX(x) （B）FZ(z)?FY(y)
（C）FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? （D）FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)? 2. 设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则
Z?max{X,Y}的分布函数是（ B ）
（A）FZ(z)?max?FX(x),FY(y)? （B）FZ(z)?FX(x)FY(y)
（C）FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? （D）FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)?
二、填空题
1. 已知随机变量X与Y独立，且
XN?0,1?，Y14?eN?1,22?，
2则 Z?2X?Y?3的概率密度fZ(z)???z?2?/16,z?R.
2.设X和Y为两个随机变量，且P{X?0,Y?0}?3,P{X?0}?P{Y?0} 754?.则P{max(X,Y)?0}? .
77三、计算题
1. 设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律, 且X的分布律为
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概率论与数理统计标准作业纸答案 X P 求随机变量Z?max{X,Y}的分布律.
0 1 12 12 解 由题设知, Z的可能取值为0,1.
Z?max{X,Y}?0即意味着X?0,Y?0. 又由于X和Y相互独立, 所以
P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}?P{Y?0}?又 P{Z?1}?1?P{Z?0}?1?故Z?max{X,Y}的分布律为
111??. 22414?34.
Z P
0 1 14 34 2. 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为
?e?y?1,0?x?1 fY(y)??fX(x)??其它?0,?0求它们的和Z?X?Y的概率密度. 解：fZ(z)?y?0y?0
?10fY(z?x)dx??zzz?1fY(t)dt
z?0,fZ(z)?0;0?z?1,fZ(z)??e?tdt?1?e?z;
0z?1,fZ(z)??e?tdt?e1?z?e?zz?1z?1?e?z0?z?1?1?z?zz?1 故：f(x)??e?e?0z?0?
第三章 练习题
1.把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y为正面出现次
第 25 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
数与反面出现次数之差的绝对值 , 求(X,Y)的分布律以及关于X、Y的边缘概率分布 .
解 X的可能取值为0，1,2,3；Y的可能取值为1,3
并且 (X,Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
11P{X?0,Y?3}?()3?
2831112P{X?1,Y?1}?C3()()?
22832121 P{X?2,Y?1}?C3()()?
22811P{X?3,Y?3}?()3?
28得(X,Y)的分布及关于X、Y的边缘概率分布为
Y X 1 3 P{Xi} 1 83 83 81 81 0 1 0 3 83 81 80 0 1 82 82 3 0 6 8P{Yi} 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?Ae?2(x?y),f(x,y)???0,(1) 确定常数A;
(2) 求(X,Y)的分布函数F(x,y);
x?0,y?0,其它.
第 26 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
(3) 求关于X和Y的边缘概率密度fX(x), fY(y); (4) 计算概率P(X?1,Y?2); (5) 计算概率P{X?Y?1}; (6) 随机变量X和Y是否独立？ 解 (1) 由联合概率密度的性质有
1???????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?2(x?y)dxdy?A4,
故得 A?4.
(2) 由概率密度的定义知, 分布函数F(x,y)?当X?0或Y?0时, f(x,y)?0 , 故
????xy??f(x,y)dxdy,
F(x,y)?0.
当X?0且Y?0时,
F(x,y)??[?4e?2(x?y)dy]dx=(1?e?2x)(1?e?2y).
00xy 所以
?(1?e?2x)(1?e?2y),F(x,y)???0,(3) X的边缘分布函数为
?2x??1?e,FX(x)?F(x,??)????0,x?0,y?0,其它.
x?0,x?0.
故关于X的边缘概率密度为
?2e?2x,?(x)??fX(x)?FX?0,同理，关于Y的边缘概率密度为
x?0, x?0.??2e?2y,fY(y)????0,第 27 页
y?0,
y?0.概率论与数理统计标准作业纸答案
(4) P(X?1,Y?2)?F(1,2)?(1?e)(1?e) . ( P(X?1,Y?2)?(5) P{X?Y?1}??2?4??0120f(x,y)dxdy?(1?e?2)(1?e?4) )
x?y?1??f(x,y)dxdy???x?y?1x?0,y?04e?2(x?y)dxdy
??[?011?x04e?2(x?y)dy]dx?1?3e?2.
(6) 显然 f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
一、单选题
1.掷6颗骰子，令X为6颗骰子的点数之和，则E(X)?（ D ）
（A）42 （B）21/2 （C）7/2 （D） 21
二、填空题
?kx?,0?x?1,1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 其中k,??0，又已知
?0,其它,E?X??0.75，则k? 3 ，?? 2 2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望EX?e?2X? 4/3 ??三、计算题
1.袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，现从中任意抽取3个球，用X表示取出的3个球的最大编号，求E?X?. 解：X的分布律为
X p 则E?X??4.5。
3 4 5 1 103 103 5第 28 页
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2.设X的分布律为
X p -1 0 1 2 3 1 31 61 61 121 4求：E?X?,E??3X?2?,EX2. 解：E?X????31,E??3X?2???3E?X??2?? 441 0 1 4 9 X 2p E?X2??37 121 31 61 61 121 4?cxy,x?0,x2?y?13.二维随机变量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??，求： E(X)。
?0,其它解：
E(X)???????????xf(x,y)dxdy?6?11x0222xydydx?3x?2?y01y?1y?x26dx?3(x?x)dx?2?014 74. 设(X,Y)在A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求E?X?,E??3X?2Y?,E?XY?.。 解：因为A的面积为
1，所以(X,Y)的概率密度为 2?2,?1??1?y?x?0f(x,y)??
0,其它，?E?X???E?Y?????????????xf(x,y)dxdy??2x??101dydx?? ?1?x30????????1yf(x,y)dxdy??
31E??3X?2Y???3E?X??2E?Y??
3E?XY????????????xyf(x,y)dxdy??2xydx??100?1?xdy?1 12第 29 页
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§4.2 方差与标准差
一、单选题
1.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)E(Y)，则（ D ）
（A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X和Y独立 （D）X和Y不独立
2.设随机变量?和?相互独立,又X?2??5，Y?3??8，则下列结论不正确的是（ B ）
（A）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （B）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （C）E(X?Y)?E(X)?E(Y) （D）E(XY)?E(X)E(Y) 3.随机变量X则（ A ）
( A ) a?1,b?3 ( B ) a?2,b?4 ( C ) a??1,b?1 ( D ) a?0,b?4
1U(a,b)，即X在区间(a,b)上服从均匀分布,且E(X)?2,D(X)?,3二、填空题
1.设X服从泊松分布，已知E?(X?1)(X?2)??1，则E?X?? 1
2.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4，则X的数学期望EX2? 18.4 3.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?则E?X?? 1 D?X?? 0.5
2??1?e?x2?2x?1，
?1,X?0,?4.设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y??0,X?0, 则方差
??1,X?0，?第 30 页
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D?Y?2??8 9三、计算题
1.随机变量X与Y相互独立，它们的分布律分别为：
0 X ?2 ?1 1 0.3 0.2 0.3 0.2pk Y pk ?1 0.3 0 0.5 1 0.2 求：（1）E(2X?3Y);（2）D(2X?3Y) 解：（1）E(X)??0.6,E(Y)??0.1
E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?(?0.6)?3(?0.1)??0.9
（2） 1 4 X2 0 0.3 0.4 0.3 pk Y2 pk 0 0.5 1 0.5 E(X2)?1.6,E(Y2)?0.5?D(X)?E(X)?E(X)?1.6?0.36?1.2422
D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?0.5?0.01?0.49
D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?4?1.24?9?0.49?9.37
2.设随机变量X的概率密度为f(x)??解：
?2x,0?x?1;求D(X).
0,其他.?第 31 页
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E?X???E?X2????2xf(x)dx??2x2dx?,031211xf(x)dx??2x3dx?, ??0221D(X)?E?X2???EX??????18.?????3. 二维随机变量(X,Y)在区域A?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}上服从均匀分布，即
?c,0?x?1,0?y?x，求D?X?.。 f(x,y)???0,其它解：二维随机变量(X,Y)在区域A上服从均匀分布，?c?1?2 S(A)y?x11E(X)??E(X2)?????????????2x322xf(x,y)dxdy???2xdydx??2xyy?0dx??(2x)dx??00003031x11x1y?x11???????2x412223xf(x,y)dxdy???2xdydx??2xydx??(2x)dx??y?000004022D(X)?E?X2????E?X????1. 18第五章 大数定律和中心极限定理
一、填空题
1.设随机变量X的方差为，根据切比雪夫不等式有估计P{X?E(X)?2}?___12___
二、计算题
1.计算机在进行数值计算时，遵从四舍五入的原则。为简单计，现对小数点后第一位进行舍入运算，则误差X可以认为服从均匀分布U(?0.5,0.5),若在一项计算中进行了100次
数值计算，求平均误差落在区间[?33,]上的概率。 2020解:设Xi表示第i次运算的误差，i?1,2,,100.
XiU(?0.5,0.5),?E(Xi)?0,D(Xi)?1. 12第 32 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
因为100比较大，所以总误差
?Xi?1100100i近似服从正态分布。
E(?Xi)??E(Xi)?50,D(?Xi)??D(Xi)?i?1i?1i?1i?1100100100100, 1211001X所以平均误差X?近似服从正态分布,E(X)?0,D(X)?. ?i100i?11200?P{?33X?0?X?}?P{?3??3}??(3)??(?3)?2?(3)?1=0.9974
120202032.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值.
( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算. ?(2.5)?0.9938,?(1.5)?0.9332 )
100,解: X~B（0.2） ， 因为 n?100 较大,
所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（14?X?30）??(30?2014?20 )??（）44 ??(2.5)??（?1.5)
?0.9938?(1?0.9332)?0.927
3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率。 ( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. ?(1.25)?0.8944 ) 解:设X表示发生故障的家电数,则
第 33 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
(1) X~B（4,0.2）
P（X?1=P（X?0）+P（X?1 ）） =0.8+C4?0.2?0.8?0.8192
413100,(2) X~B（0.2） ， 因为 n?100 较大,
所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（X?25）?1?P(X?25)?1??（25?20 ）4 ?1??（1.25)?1?0.8944?0.1056
第四五章 练习题
一、单选题
1.设随机变量X,Y相互独立，且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4），则 E(2X?Y)?（ B ）
2(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9
解(B)由已知条件可得E(X)?3,D(X)?2.1,E(Y)?4,D(Y)?2.4
所以E(2X?Y)2?[E(2X?Y)]2?D(2X?Y)?[2E(X)?E(Y)]2?4D(X)?D(Y)?14.82．设随机变量X~N(1,4),Y~N(1,2），已知X,Y相互独立，则3X?2Y的方差为（ D ）
（A）．8 （B）．16 (C)．28
(D)．44
二、填空题
?a?bx2,0?x?131.设随机变量X的概率密度为f(x)??，已知E(X)?,则D(X)?
5其他?0,2/25
第 34 页
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解由1＝???1??f(x)dx??0(a?bx2)dx?a?13b得3a?b?3
再由35＝E(X)??????xf(x)dx??10(a?bx2)dx?12a?1124b得2a?b?5联立(1)、(2)两式解得a?365,b?5,代入f(x)表达式中即得D(X)?E(X2)?(EX)2????x2f(x)dx?(3)2??5
?35?10x2(1?2x2)dx?9119225?25?25?25.2.设随机变量X1,X2,X3相互独立，且都服从参数为
?的泊松分布，Y?13(X1?X2?X3)，则E(Y2)??2?13? 解E(Y)?13(EX111?EX2?EX3)??,D(Y)?9(DX1?DX2?DX3)?3?,故E(Y2)?(EY)2?D(Y)??2?13?,所以应填?2?1
3?.3．设随机变量X,Y的分布列分别为
X 1 2 3 Y -1 0 1 P 111， 113 6 2 P 124 4 且X,Y相互独立，则E(XY)=__-13/24__
三、计算题
1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E?X?。
4解： （法一）P?X?0??A46C1234C4A344?64，P?X?1??44?3664 P?X?2??C2(24?2)21C344144?64，P?X?3??44?64 所以 E?X??0?664?1?3664?2?2118164?3?64?64 第 35 页
令
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44?1,第i个盒子中没有球（法二）设Xi??，则X=?Xi，E(X)=?E(Xi)
0，第i个盒子中有球i?1i?1?4348134P?Xi?1??4，所以E(X)=?E(Xi)?4?4?
4644i?1?e?x,x?0;2. 设随机变量X的概率密度为f(x)??
?0,x?0.?2X求：（1）Y1?2X的数学期望；（2）Y2?e的数学期望.
解：E(2X)?2E(X)?2，
????E(e?2X)??e???2xf(x)dx??011edx?(?e?3x)?
330?3x??1?xe,???x???.求E(X),D(X). 2??01??1解：E(X)??xf(x)dx??xexdx??xe?xdx?0
????202??01??1E(X2)??x2f(x)dx??x2exdx??x2e?xdx?2
????2023. 设随机变量X的概率密度为f(x)?D(X)?E?X2????E?X????2.
24.一学校有10000名学生，每人以80％的概率去图书馆上自习，问图书馆至少应设置多少个座位才能以95％以上的概率保证去上自习的学生都有座位。(?(1.645)?0.95) 解：设应设置M个座位才能以95％的概率保证去上自习的学生都有座位， 设上自习的学生数为X，则Xb(10000,0.8)，
E(X)?np?10000?0.8?8000,D(X)?npq?10000?0.8?0.2?1600,
n?10000较大，故X近似服从N(8000,1600)
M?8000?X?8000M?8000?P?X?M??P???()?0.95?4040?40?
M?8000??1.645,M?8000?1.645?40?8065.840故至少应设置8066个座位。
第 36 页
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第六章 数理统计的基本知识
一、单选题
1.设总体XN(?,?2),，其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自总体的样本，则下
列不是统计量的是（ C ）
2（A）X1?X2?X3(B)max{X1,X2,X3}(C)?(X1?X2?X3)(D)
1(X1?X2?X3) 42.设X1,X2,?,Xn独立且服从同一分布N(?,?)，X是样本均值，记1n2??S?X?X?in?1i?121242，
1n2S???Xi?X?ni?122，
1n?Xi???2S??n?1i?123，
1n2S???Xi???，则下列服从t(n?1) 的是 ( A )
ni?1（A）t?X??X??X??X?? （B）t? （C）t? （D）t?
S3S1S2S4nnnn3.总体X服从正态分布N(?1,4)，X为其容量为100的样本的样本均值，则服从正态分布N(0,1)的是 （ A ）
1111X? ( A ) 5X?5 ( B ) 5X?5 ( C ) X? ( D ) 55554．X1,X2,,Xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，X为样本均值，S2为样本方差，
则下列不正确的的是 （ C ）
( A ) XN(?,?2n) ( B )(X??)n?(n?1)S2N(0,1)
(X??)n( C )
St(n) ( D )
?2?2(n?1)
二、填空题
1.随机变量XN(0,1)，Y?2(9),且X与Y相互独立，则第 37 页
XYt(9)
9概率论与数理统计标准作业纸答案
2222.X1,X2,X3是来自标准正态总体N(0,1)的样本，则X1?X2?X3?2(3)
3.已知某总体X的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，则样本均值x= 99.93 ，样本方差s= 1.43 4.设总体X~N(?,4),X1,X2,202,X20为取自总体X的一个容量为20的样本,则概率
P(46.8??(Xi?X)2?154.4)?= 0.895 i?15.从总体N(63,49)中抽取容量为16的样本,则P(X?60)= 0.0436 6.X1,,X5和Y1,,Y8是分别来自正态总体N(1,5)和N(?2,16)的两个独立样本，
则 X?2Y7.设X1,X2,N(5,9)
,X10为N(0,0.3)的一个样本,则P{?Xi2?1.44}= 0.1 .
210i?1三、计算题
1.设总体X~N(?,?),X1,X2,2,X16为取自总体X的一个容量为16的样本,样本均
方差s=2.309,求概率P(|X??|?0.4)。 解： 由题意知 t?X??Snt(n?1)
n?15 t?X??Snt(15)
X??0.4?] = P[t?0.692]
S/nS/nP[X???0.4] = P[= 1-2P[t?0.692]= 1-2?0.25 =0.5
第七章 参数估计 §7.1 点估计
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概率论与数理统计标准作业纸答案
一、单选题
1. 总体均值E(X)的矩估计值是（ A ）
（A）x （B）X （C）x1 （D）X1
2.X1,X2,X3是来自总体X的样本，且E(X)??,D(X)??，则下列不是?的无偏估计的是（ D ） ( A ) X2 ( B )
2X1?X2?X3XXXXXX ( C ) 1?2?3 ( D ) 1?2?3
342463323.X1,X2,X3是来自正态总体N(?,?)的样本，下列?的无偏估计量中最有效的是（ A ）
( A ) X ( B ) X2 ( C )
12111X1?X3 ( D ) X1?X2?X3 33424二、填空题
1.设总体X在区间?0,??上服从均匀分布，其中??0为未知参数.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，则参数?的矩估计值为 2 x 2.设总体X的均值E(X)??，方差D(X)??，则X是总体均值的无偏的、有效的、一致的估计量， S 是总体方差的无偏的、有效的、一致的估计量
22三、计算题
1.设总体X具有分布律
X p 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得样本值x1?1,x2?2,x3?1,试求?的矩估计值和极大似然估计值。 解 ：(1)令X?E(X),
第 39 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
x1?x2?x31?2?1???2?4?(1??)?3(1??)2
334??5为矩估计值。 即：??2??3，求得?36具体地，x? (2)似然函数为L(?)??p(x,?)??ii?1322?(1??)?2?2?5(1??)
取对数，得lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)于是，得
dlnL(?)51??5。 ???0.由此可得参数的极大似然估计值为求得?d??1??62. 设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,?.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，求参数p的矩估计值与极大似然估计值。
解：由已知可得
11n1v1(X)?E(X)?，所以??xi?x
pni?1p似然函数为L(p)??(p(1?p)i?1nxi?1)?p(1?p)i?1n?xi?nn
取对数，得lnL(p)?nlnp?(?xi?1ni?n)ln(1?p).于是，得
ndlnL(p)n11??. ??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pdpp1?pi?1x3. 设某厂生产的灯泡的寿命T服从寿命为?的指数分布，即T效的时间为x1,x2,e(?)。测得n个灯泡失
,xn，求?的矩估计值和极大似然估计值。
1n解：（1）E(X)?，所以??xi?x,
?ni?1?11??由此可得参数的矩估计值为?（2）似然函数 L(?)?n1. x??n?e????e?i?1?xi?xii?1n ，
第 40 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
ln(L(?))?nln???似然方程为
?xi?1ni，
dln(L(?))nn???xi?0，
d??i?1??解得 ?n?xi?1n?i1，其中x为样本均值 。 xdln(L(?))dln(L(?))11时，?0，??时，?0，
d?d?xx??1是L(?)的最大值点，1是?的极大似然估计值。 所以?xx因为??§7.3 正态总体的置信区间
一、单选题
21. 若总体X~N(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??变
2小，则?的置信区间（ B ）
(A)长度变大 (B)长度变小 （C）长度不变 (D)长度不一定不变
2.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足
P(X?u?)??.若P(X?x)??，则x等于（ C ）
（A）u? (B)u21??2 (C)u1?? (D)u1??
2223. 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20cm，样本标准差s?1cm，则?的置信度为0.90的置信区间是（ C ） (A)(20?(C)(20?1111t0.05(16),20?t0.05(16)) (B)(20?t0.1(16),20?t0.1(16)) 44441111t0.05(15),20?t0.05(15)) (D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)) 4444二、填空题
第 41 页
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1. 由来自正态总体X~N(?,0.9)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值x?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为(19.87,20.15)
2. 已知一批零件的长度X服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得平均长度为40cm，则?的置信度为0.95的置信区间为(39.51,40.49)
2三、计算题
1. 为了解灯泡使用时数均值?及标准差?，测量了10个灯泡，得x?1650小时，s?20小时.如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求?和?的0.95的置信区间。 解: 由t?(n?1)?t0.025(9)?2.262，根据求置信区间的公式得
2ss2.262t?(n?1), x?t?(n?1))?(1650??20) n2n210?(1650?14.31)?(1635.69, 1664.31)(x?2222查表知??(n?1)??0.025(9)?19.023,??(n?1)??0.975(9)?2.70，根据求置信区间的
21?2公式得?的置信区间为
2
(n?1)s2(n?1)s29?2029?202 (2, 2)?(, )?(189.24, 1333.33)
?0.025(9)?0.975(9)19.0232.70 而?的置信区间为
(189.24, 1333.33)?(13.8, 36.5)
2.从长期生产实践知道，某厂生产的电子元件的使用寿命X~N(?,1002)。现行某一批电子元件中抽取5只，测得其使用寿命分别为
1455 1502 1370 1610 1430
试求这批电子元件的平均使用寿命?的置信区间（?分别取0.1和0.05）
第 42 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
解：由样本值得1X＝（1455＋1502＋1370＋1610＋1430）＝1473.45当?＝0.1，查表得??2＝1.64，故X－??2X＋??2?n?1473.4?1.64??1473.4?1.64?1005100?1400.1?1546.7?n5?1400.1，于是置信度90%下，平均使用寿命?的置信区间为1546.7?当?＝0.05时，查表得??2＝1.96，故X－??2X＋??2?n?1473.4?1.96??1473.4?1.96?1005100?1385.7?1561.1?n5?1385.7，于是在置信度95％下，平均使用寿命?的置信区间为1561.1?第八章 假设检验
一、单选题
1. 在假设检验中,作出拒绝假设H0的决策时,则可能（ A ）错误
（A）犯第一类 （B）犯第二类 （C）犯第一类,也可能犯第二类 （D）不犯
2. 对正态总体?的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受H0:???0，那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（ A ） （A）必接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0
3. 在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（ B ） （A）H1真，接受H1 （B）H1不真，接受H1 （C）H1真，拒绝H1 （D）H1不真，拒绝H1
二、计算题
1.已知在正常生产的情况下某种零件的质量服从正态分布N(54,0.75)。从某日生产的零件中抽取9件，测得质量（ｇ）如下：
第 43 页
2概率论与数理统计标准作业纸答案
55.1， 53.8， 54.2， 53.0， 54.2， 55.0， 55.8， 55.1， 55.2。 如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异？???0.05,u0.025?1.96? 解：假设H0:???0?54,H1:??54
H0成立，?U?X??0?N(0,1)
n??0.05,u??u0.025?1.96,??0.75,n?9
2x?55.1?53.8?54.2?53?54.2?55?55.8?55.1?55.2?54.69x??054.6?541.8u????2.4
?0.750.753n2
u?2.4?u?，样本在拒绝域中，拒绝假设H0,认为有明显差异。
2. 机器包装食盐，每袋净重量X（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g）.某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为： 497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平??0.05检验这天包装机工作是否正常？ 解：设H0：??500； H1：??500 由于?未知，选统计量
2t?X??0Sn~t(n?1)
对显著性水平??0.05，查表得t?(n?1)?t0.025(8)?2.31。由样本值计算得x?499，
2s2?257，s?16.03
t?499?50016.033?0.187?2.31?t?(n?1)
2接受H0，认为每袋平均重量为500(g).
第 44 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
3.某工厂用自动包装机包装奶粉，今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋，测得各袋的重量（单位:g）为
495， 510， 505， 489， 503， 502， 512， 497， 506， 492
2设包装机称得的奶粉重量X~N(?0,?)，能否认为各袋净重的标准差为?＝5？
(??0.05)
（1）?0?500；（2）?0未知
解2分两种情况讨论：(1)?0?500克；(2)?0未知，H0:?2??0(1)因X的均值?0?500克已知，故当H0为真时，检验用统计量为??212?0?(Xi?1ni??0)2~?2(n)2（对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(10)?20.5） 2?0.975(10)?3.25,已知?0?500,?0?5,n?10.2根据样本值计算统计量?的值为??212?02(x?500)?16.88?ii?110222因?0.975(10)????0.025(10),故在显著性水平??0.05下接受H0.（2）设H0：?＝5； H1：??5
因X的均值?0未知，故当H0为真时，检验用统计量为??2(n?1)S2?02~?2(n?1)2对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(9)?19,2?0.975(9)?2.7,已知?0?5，根据样本值计算得s2?42.222,于是?2的值为
?2?1?02(n?1)s?15.20222因?0.975(9)??2??0.025(9),故在显著性水平??0.05下接受H0.综上所述可知，在两种情形下都可以认为各袋奶粉净重的标准差为??5克.第六、七、八章 练习题
1.设总体X~N(1,0.2),X1,X2,2,Xn为取自总体X的一个样本,要使样本均值X满
足不等式P(0.9?X?1.1)?0.95，则样本均值n最少应取多少。
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解： 由题意知 X～N(1,故 P(0.9?X?1.1)=?(0.04) n1.1-10.9-1)??()
0.2n0.2n=2?(0.5n)?1?0.95
即 ?(0.5n)?0.975 ，0.5n?1.96 ，n?15.3664 因此样本容量n最少应取为16.
2.设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,.如果取得样本观测值为
x1,x2,,xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。
解：由已知可得
11n1v1(X)?E(X)?，所以??xi?x
pni?1p??由此可得参数的矩估计值为p似然函数为L(p)?1. xxi?1?(p(1?p)i?1n)?p(1?p)i?1n?xi?nn
取对数，得lnL(p)?nlnp?(?x?n)ln(1?p).于是，得
ii?1nndlnL(p)n11??. ??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pdpp1?pi?1x??x??1,0?x?13.设总体X的概率密度为f(x)??，（0???1）
?0, 其它如果取得样本观测值为x1,x2,解 ：（1）令EX?,xn，求参数?的极大似然估计值。
1?????xf(x)dx???x?dx?0???1?x
??所以?x为矩估计值。 1?x第 46 页
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n???1n?(2)似然函数为L(?)??f(xi,?)???xi????xi?i?1i?1?i?1?nnn??1
取对数，得lnL(?)?nln??(??1)?lnx，
ii?1dlnL(?)nn???lnxi?0. 于是，
d??i?1???由此可得参数的极大似然估计值为求得?n?lnxi?1n。
i??2D??，求常数c和d，使?和??为参数?的两个独立的无偏估计量，且假定D?4.设?1212??c???d??为?的无偏估计，并使方差D??最小. ?12???，故得c+d=1。 ??E(c???d??)?cE???dE???(c?d)?,且知E?解： 由于E?1212又由于
??D(c???d??)?c2D???d2D???2c2D???d2D???(2c2?d2)D?? D?1212222并使其最小，即使f?2c?d，满足条件c+d=1的最小值。
'22令d=1-c，代入得f?2c?(1?c)，fc?4c?2(1?c)?0, 6c?2?0
22解得c?12,d?1?c?。 3325. 对方差?为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于L。 解: 由于?的置信区间为(x??nu?,x?2?nu?)，故?的置信区间长度为22?nu??L.
2所以，有n?2?2?u?，即n?(u?)2.
L2L22
6. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得s?0.2，求?的置信区
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间(??0.1)。
解: 查表得?0.05(11)?19.675,?0.95(11)?4.575，根据求置信区间的公式得?的置信区间为
222
(n?1)s2(n?1)s211?0.2211?0.22 (2, 2)?(, )=(0.02, 0.10).
??(n?1)??(n?1)19.6754.5752。1?27.测量某种仪器的工作温度(C)5次得数据如下： 1250 1275 1265 1245 1260
设仪器的工作温度服从正态分布N(?,?),?未知，试求?的置信区间(??0.05)。
22解选T?2X??n为估计用统计量，由a?0.05查t?分布表得Sta(n?1)?t0.05(5?1)?t0.025(4)?2.776421又x?(1250?1275?1265?1245?1260)?125951512570222222s?(x?x)?(9?16?6?14?1)??i5?1i?144
??x?t·?1as570?1259?2.7764?1259?14.8?1244.24?5n2??x?t·s?1259?14.8?1273.8 ?2an2N(4.55,0.062),现改变工艺，又测得9炉铁水的含碳
所以?的95%置信区间为(1244.2,1273.8).8.已知某炼铁厂的铁水含碳量X量分别为：
4.55 4.58 4.60 4.59 4.56 4.54 4.53 4.61 4.57 假设方差无变化，问总体的均值?是否有明显变化? ???0.05,u0.025?1.96? 解：假设H0:???0?4.55,H1:??4.55
u?X??0?N(0,1)
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??0.05,u??u0.025?1.96
2u?x??0??n4.57?4.55?1
0.063u?u?，不在拒绝域中，故接受假设H0,认为总体的均值无明显变化。
29.机器包装食盐，每袋净重量X（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g）.某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：
497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平??0.05检验这天包装机工作是否正常？ 解：设H0：??500； H1：??500
由于?未知，选统计量
2
t?X??0~t(n?1)
Sn2拒绝域为t?t?(n?1)，对显著性水平??0.05，查表得t?(n?1)?t0.025(8)?2.31。由
2样本值计算得x?499，s?257，s?16.03
t?2499?50016.033?0.187?2.31?t?(n?1)
2不拒绝，接受H0，认为每袋平均重量为500(g). 模拟题一
一、单选题
1.事件AB表示( C )
( A ) 事件A与事件B同时发生 ( B ) 事件A与事件B不同时发生
( C ) 事件A与事件B都不发生 ( D ) 事件A与事件B至少有一个不发生 2.离散型随机变量X的分布律为：
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X pk 则 ?? ( B ).
( A )
?1 0 1 ? 2?(2??) ? 2
1251 ( B ) ( C ) ( D ) 55663.随机变量X与Y相互独立，(X,Y)的联合分布律如下：
Y X ?1 1 4b e 0 a c p?j 1 3 pi? 则下列不正确的是（ D ） ( A ) a?1 2d f
1111 ( B ) b? ( C ) e? ( D ) f? 442424.设随机变量X,Y相互独立，且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4），则 E(2X?Y)?（ B ）
(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9
25.样本(X1,X2,X3)来自总体X，且E(X)??,D(X)??，则有（ B ） ( A ) X1?X2?X3是?的无偏估计 ( B ) ( C )
X1?X2?X3?是的无偏估计
3X1?X2?X3?2是的无偏估计 ( D ) X是?2的无偏估计
4二、填空题
1.已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，则条件概率P(BAB)? 0.25
2.一袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红一白一黑的概率为 0.25 3.已知X,Y相互独立，且E(X)?2,E(Y)?3,D(X)?D(Y)?1, 则E[(X?Y)2]= 3 ?24.设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?0}?e，则P{X?1}?1?3e
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